Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

(4.23) , «разбавленный» нулями, который ввиду теоремы 5 § 8 главы 2 должен сходиться. Заменим, далее, в ряде (4.22) нулями все положительные члены, а у отрица­ тельных изменим знаки. В результате получится «раз­ бавленный нулями» ряд (4.24), сходящийся в силу тех же причин. Сумма двух построенных «разбавленных» рядов есть, очевидно, ряд модулей членов ряда (4.22), который тем самым по теореме о сложении рядов должен сходиться. Последнее же противоречит условию теоремы.

Пусть теперь сходится 'один из рядов (4.23) и (4.24), скажем, для определенности ряд (4.23), а ряд (4.24) рас­ ходится. Разбавим ряд (4.23), как это мы только что делали, нулями и вычтем полученный сходящийся ряд из (4.22), изменив у оставшихся членов знаки. Отбро­ сив соответствующие нули, мы придем к ряду (4.24). По теореме о вычитании рядов он должен сходиться, а это противоречит только что сделанному предположению.

Т е о р е м а 2. Пусть ряд

Vl + Vi + . . . + Vt^ + Vk>S

(ряд, составленный из положительных членов ряда (4.25), согласно предыдущей теореме, расходится, так что мы можем набрать сколь угодно большую сумму). Затем будем приписывать к имеющейся сумме отрицательные члены, пока новая сумма не опустится ниже si

(расходимость ряда отрицательных членов (4.26) обес­ печивает нам такую возможность). Далее будем повто­ рять этот процесс приписывания к сумме новых групп положительных и отрицательных членов, каждый раз минимально переходя через s. После каждого перехода частичная сумма ряда (4.26) будет по построению отли­ чаться от s менее чем на абсолютную величину члена, последнего из приписанных в этом или в предыдущем переходах. Но по необходимому признаку сходимости ряда (§ 6 главы 2) эта абсолютная величина стремится к нулю. Следовательно, последовательность частичных сумм ряда (4.26) имеет пределом s, а это и означает требуемое.

' Доказанная теорема подчеркивает нетривиальность теоремы о возможности неограниченной перестановки членов в абсолютно сходящихся рядах, установленной в предыдущем пункте. Заметим вместе с тем, что любые перестановки конечного числа членов допускаются в лю­ бых рядах; они не "сказываются ни на сходимости ря­ дов, ни на величине их суммы.

§ 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.

с частичными суммами tn и суммой t.

§ 5. УМНОЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Тогда ряд, членами которого являются все произве­ дения любого члена первого ряда на любой член второго, также сходится абсолютно и сумма его равна произве­ дению st.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем выписывать произведе­

(стоящие в каждой строке слагаемые соответствуют по­

составляют лишь частичную последовательность частич­ ных сумм ряда-произведения (4.29). Поэтому из полу­ ченного предельного соотношения еще не следует нуж­ ного нам

lim rn = st.

п->со