ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
і° |
|
|
ГЛ. |
4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ |
РЯДЫ |
|
|
|
||||||
Для |
получения |
этого |
результата нам |
придется |
еще по |
|||||||||
казать, |
что для достаточно |
больших |
квадратов |
любые |
||||||||||
суммы чисел, стоящих в их окаймлениях |
этих |
квадра |
||||||||||||
тов, |
сколь угодно малы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть теперь k — некоторое-натуральное число, а п2 — |
||||||||||||||
ближайший к нему снизу квадрат. Положим |
|
|
||||||||||||
где |
<7* — сумма |
некоторого |
количества |
членов |
ряда |
|||||||||
(4.29), |
стоящих |
в окаймлении |
/г-го |
квадрата, |
т. е. в |
|||||||||
(n-f-l)-fl строке выражения (4.29). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Абсолютная |
сходимость |
рядов |
(4.27) |
и (4.28) |
озна |
|||||||||
чает |
сходимость |
рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
K I + |
M |
+ .. . + |
|и л [ + ... |
|
|
(4.30) |
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Оі| + |
|о2І + |
... + |
|о„І + ... |
|
|
(4.31) |
|||||
Пусть 5 |
и Т — соответственно |
суммы |
этих рядов. |
|||||||||||
Ясно, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I qkn |
I < |
|
I u n + 1 ü! I - f 1 u n + 1 y 2 1 + • • • + |
|
1 « n + i ü « 4 I + |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ І В Д н і І + І " А + І І = |
|||||
|
= |
І"я + ІІ(І*'іІ + --- + |
К + |
і | ) |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ \vn+ï\(\un\ |
+ ...+ |
\u1 | ) < | и я + і | Г + |
| і ; п + 1 | 5 . |
||||||||
Из сходимости рядов (4.30) и (4.31) следует, что |
|
|||||||||||||
|
|
|
lim | « я + і | = |
lim | o n + |
i | = 0-, |
|
|
|
||||||
„ |
|
|
Л - » C O |
|
|
Л - » C O |
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
lim I qkn |
I =S lim (I « Л + І |
I S +1 vn+i |
I T) = 0, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
Л —»CO |
|
л - » с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
что |
|
lim rk— |
lim /•„« + |
lim qk |
— st. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
k-*oo |
|
л —*oo |
|
л-*оо |
1 1 |
|
|
|
|||
Следовательно, ряд (4.29) сходится, и сумма его равна st.
§ G. ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЛЕЙБНИЦА |
79 |
Переходя к рядам (4.30) и (4.31) и повторяя приме нительно к ним те же рассуждения, мы видим, что ряд (4.29) сходится абсолютно и сумма абсолютных величин его членов равна ST.
Нам |
остается заметить, что |
иа основании теоремы |
о перестановке членов абсолютно |
сходящихся рядов схо |
|
димость |
интересующего нас ряда, |
равно как и его сумма, |
не зависит от того конкретного |
порядка, в каком мы |
|
выписывали его члены. |
|
|
§6. Признак сходимости Лейбница
Оп р е д е л е н и е . Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют раз личные знаки.
Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знамена телями.
Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимо
сти, принадлежащий |
Лейбницу. |
|
||||||
|
Т е о р е м а |
(признак сходимости Лейбница). Если |
||||||
абсолютные |
|
величины |
|
членов |
знакочередующегося |
ряда |
||
|
|
U l |
- u 2 + u s |
- . . . + (— 1)»^ « л + ... |
(4.32) |
|||
образуют |
монотонно |
|
убывающую /последовательность, |
|||||
стремящуюся |
к нулю, |
|
т. е. если |
|
||||
и |
|
|
« i ê |
^ |
è |
. - è |
^ a . . . |
(4.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 і т а я = |
0, |
(4.34) |
|
|
|
|
|
«-•со |
|
|
||
то |
ряд (4.32) |
сходится. |
|
имеем для любого п — |
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Мы |
||||||
= |
1, 2, ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
и |
і — Uo-\- |
U3 — W4 - { - . . . -f- Mo„_i — "än-2 |
|
|||
или, объединяя члены в труппы (сумма s2n содержит только конечное число слагаемых, и потому основные законы действий справедливы здесь без каких-либо
80 ГЛ. 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
ограничений),
Son = «1 — («2 — И3) — («4 - "б) — • - • — ( « 2 П - 2 - « 2 П - 0 - ti2n.
На основании невозрастания последовательности абсо лютных величин членов ряда во всех скобках стоят не отрицательные числа. Следовательно,
S2 n ^ ^і -
Поэтому частичные суммы ряда (4.32) с четными номе рами составляют ограниченную последовательность.
С другой стороны, в силу той же монотонности
s2n+2 — s 2 r t = (S2ra+2 — S 2n+i) "f" (S 2n+Î — s 2n) —
= |
"2/1+2 4" W 2n+i S î 0, |
и потому последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей. Следовательно, эта последовательность имеет предел
lim s2„ = s < « 1 . |
(4.35) |
Далее,
S 2n+Î = S2n "f" ü 2t+l>
так что
lim s2 n + i = lim s2„-f- lim и2 п + £.
«-•со |
|
n—*co n-*co |
|
|
|
||
Оба предела справа существуют, причем |
второй |
из них |
|||||
по условию равен |
нулю. Следовательно, |
существует и |
|||||
предел слева, и для |
него |
|
|
|
|
||
|
|
lim |
s2 r a + i = |
s. |
|
|
|
Вместе с (4.35) это |
дает |
нам |
|
|
|
|
|
|
|
lim s„ = s, |
|
|
|
||
|
|
n-юо |
|
|
|
|
|
что и требовалось. |
Для |
знакочередующегося ряда |
щ — |
||||
С л е д с т в и е . |
|||||||
— ы2 + . . . ± ип = р . . . , удовлетворяющего |
признаку |
схо |
|||||
димости Лейбница, |
|
остаток Rn |
можно сверху |
оценить |
|||
§ 7. СУЩЕСТВЕННОСТЬ УСЛОВИИ |
81 |
по абсолютной величине: \ЯаШ\и^\.
В самом деле, остаток Rn можно рассматривать как сумму ряда
Rn — — "rt+ï UH+2 — Ы «+3 : • • »
которая, как следует из доказанной теоремы, не пре восходит по абсолютной величине своего первого члена, которым в данном случае является ип+^.
П р и м е р . В применении к ряду .
• т - т + т - т + - + ( - ^ + 4 + -
признак Лейбница дает
lim ип = lim ( ± — ) = 0,
что означает сходимость ряда. (Непосредственными выкладками эта сходимость была установлена в § 2.)
§ 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница
Обратим внимание на то, что в признаке сходимости Лейбница указываются три условия, которым должен удовлетворять ряд: знакочередуемость членов ряда, а также монотонность и сходимость к нулю их абсо лютных величин. Каждое из этих трех условий является существенным и поэтому подлежит проверке.
Во-первых, в признаке сходимости Лейбница нельзя отбросить условие знакочередуемости. Можно построить примеры рядов, у которых последовательность абсолют ных величин членов монотонно стремится к нулю, но которые расходятся из-за того, что знаки членов ряда не чередуются, а распределены более сложно.
П р и м е р . |
В. ряде |
|
|
1 |
1 1 , 1 , 1 , 1 1 1 |
„ 0 |
„ ѵ |
т~-т+т+т+т—r-t—• |
(4 |
-36) |
|
абсолютные величины членов не возрастают и стремятся к нулю. Однако все частичные суммы вида
С 1 |
при |
нечетном nt |
sn(n + l) — у g |
п р и |
ч е т н о ы П і |