Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

82

ГЛ. 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

а остальные частичные суммы принимают промежуточные значения. Очевидно, такая последовательность частичных сумм предела не имеет, и потому ряд (4.36) расходится.

Во-вторых, для сходимости знакочередующегося ряда важно условие (4.33). Существуют расходящиеся ряды, для которых выполняются все условия теоремы Лейбни­ ца, кроме (4.33).

П р и м е р . Ряд

2 ^ 2

4 ^ 3

6 +

^ / і 2л

знакочередующийся, и для него выполняется условие (4.34), но не условие (4.33). Этот ряд расходится. В самом деле, если бы он сходился, то сходился бы по ассоциативному'закону (см. теоре­ му 1 § 8 главы 2) и ряд

і - т 1 + І і 4 ) + ~ + ( ; Ч 1 + -

т. е. ряд

Т + Т + - + ^ + - - 2 - ( 1 + Т + - + І + "

Но в скобках здесь стоит'гармонический ряд, который, как извест­ но, расходится.

Наконец, в-третьих, существенность условия (4.34) видна на примере ряда

4 ^ 8

1 6 ^ " ' ^ 1

'

2"

^ - "

Этот ряд —знакочередующийся, и его члены по абсолютной величине монотонно убывают. Однако здесь

hm

и2 „+ 1 =

lim

2*"+! -

1

 

— со

 

 

п —» со 2Л + 1

~2

 

l i m « 2 „ =

l i m

2 2 Л - 1 + 1

 

22'1

 

2 '

 

со

=

1Ш""'1

—

Il

 

п/1 -—* ООоо

 

 

 

и ряд расходится. Для него

_ 5

I-

±

s 2n + l — ~с~і

"П1 S 2 n —

„ •

°

П—СО

о

Г Л А В А 5

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§ 1. Определение функционального ряда

Понятие функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осущест­ вляет некоторое соответствие между объектами, состав­ ляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область ее значений. Так можно рас­ сматривать числовые функции от чисел (при этом чис­ лу-аргументу ставится в соответствие число, являющееся значением функции); можно говорить о числовых функ­ циях от систем чисел (то, что обычно называется функ­ циями нескольких переменных); можно говорить о век­ тор-функциях (т. е. о функциях, значениями которых являются векторы) и т. д. Близкими к вектор-функциям являются такие функции, которые ставят в соответствие числам —ряды. Эти функции называются функциональ­ ными рядами.

Так как

задание

ряда состоит в задании

каждого

его члена,

а член ряда есть число, задание функциональ­

ного

ряда

от некоторой переменной х состоит в задании

ряда

функций

° т

этой

переменной, являющихся

членами

функционального

ряда. Таким образом, мы

приходим

кследующему определению.

Оп р е д е л е н и е . Выражение

и1(х) + и2(х)

+ ...

+ ип(х) + ...

. (5.1)

называется функциональным

рядом относительно

пере­

менной X.

 

 

 

Если переменная х

может принимать только

веще­

ственные значения, а параметры функций, являющихся

84

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

членами ряда (5.1), также все вещественные, то ряд (5.1) называется вещественным рядом.

Если же значения переменной х, равно как и пара­ метры функций и„ [х), могут быть не только веществен­ ными, но и комплексными, то ряд (5.1) называется ком­ плексным рядом.

Пр и м е р ы .

1.Если X принимает только вещественные значения, то ряд

является вещественным рядом

относительно переменной х.

2. Этот же ряд можно рассматривать как комплексный ряд

относительно переменной

г:

 

г

г2

г"

если г есть комплексная переменная.

Говоря в данной главе об общих функциональных рядах, мы будем каждый .раз иметь в виду только вещественные ряды. Некоторые вопросы, касающиеся комплексных рядов, будут затронуты в следующей главе.

Каждый из членов функционального ряда может быть, в частности, и постоянной. В этом случае функциональ­ ный ряд превращается в числовой. Таким образом, чис­ ловой ряд является частным случаем функционального.

§ 2. Область сходимости функционального ряда

Придавая в выражении (5.1) переменной х некоторые значения xQ, хх и т. д., мы будем получать те или иные числовые ряды

« 1 (*о) + "г (*о) + • • • + (*о) + • • • •

, 5 2)

М«і) + М*і) + ... + М*і) + ...

 

ит. д.

Взависимости от значения, принимаемого перемен­ ной X, числовой ряд (5.2) может оказаться сходящимся или расходящимся.

§ 2. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА 85

О п р е д е л е н и е . Совокупность всех значений пере­ менной X, для которых ряд (5.2) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (5.1).

Если значение х0 переменной х принадлежит области сходимости функционального ряда

 

 

U\ (Х) +

«2 (X) + ...

+ «„ (Х) +

... ,

то

можно говорить о сумме этого функционального ряда

в

точке х =

х0:

 

 

 

 

"і (*о) + и2 (*о) + ... + и„ (х0) + . . .

= s (х0).

 

Таким

образом,

значение

суммы

функционального

ряда зависит от значения х0 переменной х, т. е. сумма функционального ряда сама является функцией пере­ менной X. Это и отражено в обозначении s(x0 ). Под­ черкнем, что областью задания суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда.

Сумма функционального ряда, понимаемая как функ-. цпя, в принципе ничем не отличается от функций, полу­ чаемых каким-нибудь другим путем. В частности, можно ставить и решать вопросы о ее непрерывности, дифферен­ цируемое™, интегрируемости и т. д. Можно .интересо­ ваться также тем, какие функции можно получать в виде сумм функциональных рядов и как находить ряды, у которых суммами были бы заданные функции. Изу­ чение этих и подобных вопросов и составляет содержа­

ние

всей оставшейся

части курса.

 

 

П р и м е р ы .

 

 

 

 

 

1.

Ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X2

хп

<5"3>

 

 

 

 

2+Ь +-+ ¥+-

при

каждом

X представляет

собой геометрическую

прогрессию со ;

знаменателем

х/2.

Условие

сходимости этого ряда

состоит в том,

чтобы | д : / 2 | < 1 .

Таким

образом, область сходимости ряда (5.3)

состоит

из всех тех значений переменной х , для которых | х \ < 2.

 

2.

Ряд

 

 

 

 

 

1 + 1 + + 1 +

86 ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

как было установлено, сходится при х > 1 и расходится при х < 1. Следовательно, область сходимости этого ряда состоит из всех зна­

чений X, для

которых . ѵ> 1, или, короче, область сходимости этого

ряда описывается неравенством

х> I.

•

3. Члены

функционального

ряда •

 

 

-Т^?+Т^А+-+7^+-

 

 

 

(5-4)

при любом X меньше соответствующих членов ряда «обратных

квадратов»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - і - 4 т - " - г -

п2-г---

 

 

 

Так

как последний

ряд

сходится,

должен

сходиться

и ряд

(5.4)

при

любом X.

Таким

образом,

областью

сходимости

ряда

(5.4)

является множество

всех вещественных чисел.

 

 

 

4. В ряде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< л + 7 [ + 2 І + - + ^ + -

 

^

при любом х—хп

отношение последующего

члена к предыдущему

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х0

^ х0

х0

 

 

 

 

 

 

 

( л + 1 ) І :

7 ï ï =

n + ï

 

 

 

и, очевидно, при возрастании п

стремится к нулю. Следовательно,

при

любом х0 ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Х0

у?

 

хп

 

 

 

 

 

01 ^ 1 Г 21 ^ • • • ^ „ П •"

 

 

согласно признаку

сходимости

Даламбера

является

сходящимся.

Таким образом,- область сходимости функционального ряда (5.5) состоит из всех вещественных чисел.

5. Функциональный ряд

0!+д:1І+ж 2 2І+ . . . + * " л ! + . . .

при любом значении хфО расходится (это проверяется без труда при помощи признака Даламбера). Следовательно, область схо­ димости этого ряда исчерпывается числом 0.

6. Рассмотрим ряд

'

I

1

2-f-sin*.

' 3-f-siiiA: "'

n-j-l + sin*

§ 3. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ

87

Так как sinA:< 1, члены этого ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда, начиная с третьего:

1 + 1 + + 1 +

который расходится. Следовательно, ряд (5.6) не сходится ни при каком значении х. Можно сказать, что область сходимости этого ряда пуста.

§ 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения

Сейчас нам придется

вспомнить

некоторые

факты,

касающиеся

сходимости

последовательности функций.

О п р е д е л е н и е .

Последовательность

функций

 

si(*), s2 (*),...,

s„(x),...

 

 

сходится к

предельной

функции

s(x)

в

/почке

XQ, если

 

lim

Sn(x0)=s(x0),

 

 

 

 

п -»CO

 

 

 

 

 

т. е. если для каждого

е > 0

найдется

такое

п0, что

при « > « о

 

 

 

 

 

 

 

l s „ ( * o ) - s ( * o ) | < e .

О п р е д е л е н и е . Последовательность функций

 

sl(x),

s2 (*),...,

s„(*),...

 

сходится

к предельной

функции

s(x) в

некоторой

области

(например,

в сегменте

[а, Ь) или в

интервале

(о, о)), если для каждого

ха из

этой

области

 

lim s„(*o) = s(x0 ),

п-*со

т.е. если для каждого е > 0 и х0 из нашей области

найдется такое п0, что при п>п0

\s„(x0) — s(x0)\<.z-

Заметим, что в этом определении п0 находится по каждому х0 из нашей области, т. е., вообще говоря, зависит от х0. Несколько иной факт описывается в сле­ дующем определении.

Смотрите также файлы