Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Рис. 2.

88

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

 

 

О п р е д е л е н и е .

Последовательность

функций

 

Si(x), s2(x),

sn(x), ...

 

(5.7)

сходится к предельной функции

s (х) равномерно в некото­

рой данной области, если для

каждого е > 0

существует

такое щ,

что при

п > п0 и

при любом

х0

из области

\sn(x0)-s(x0)\<e.

Подчеркнем, что в отличие от предыдущего опреде­ ления здесь утверждается существование п0, в равной мере «обслуживающего» все зна­

чения А"0.

Различие между описанными видами сходимости последова­ тельностей функций можно на­ глядно представить себе геомет­ рически.

Рассмотрим графики двух функций f (х) ii^g(x), заданных на некотором промежутке с кон­ цами а и Ь (рис. 2). Ясно, что эти графики могут располагать­

ся «близко» или «далеко» друг от друга. Однако если расстояние между точками на координатной плоскости понимается вполне определенным образом, то расстоя­ ние между графиками функций нуждается в специаль­ ном определении. Оказывается, что этому расстоянию можно дать несколько различных определений и каж­ дое из них по-своему будет разумным.

Если функции последовательности

Si(x), s2(x),

.... sn(x), ...

(5.8)

приближаются к функции

s (х) в смысле некоторого опре­

деления расстояния, то можно говорить, что имеет место

сходимость последовательности (5.8) к функции

s(x)

в смысле этого

расстояния.

х0,

Например,

можно фиксировать некоторую точку

расположенную между а и о, и под расстоянием между графиками функций (и тем самым между самими функ­ циями) f(x) и g(x) понимать

\f(Xo)-g(x0)\.

(5.9)

§ 3. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ

89

Здесь близость функций и их графиков оценивается по их

различию

в точке х0.

Сходимость последовательности (5.8) к предельной

функции

s (х) в точке х0 означает, что графики функций

(5.8)

над

точкой х0 приближаются к графику функции

s(x)

(рис. 3). Это значит в свою очередь, что расстояние

Рис. 3. V Рис. 4.

между функцией sn(x)

и

предельной

функцией

s(x)

в

смысле

выражения

(5.9)

по мере

роста

п

стремится

к

нулю:

lim \sn(x)

— s (х) I =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

(5.10)

 

 

 

n -+ со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, «сходимость в точке х0»

соответствует

расстоянию, определяемому выражением (5.9).

 

 

 

 

Область сходимости последовательности (5.8) к функ­

ции

s(x)

будет состоять из всех тех

х0,

для

которых

выполняется равенство

(5.10), т. е. для тех

абсцисс, для

которых графики функций из последовательности

неог­

раниченно

приближаются к графику функции

s (х).

 

 

Вместе с тем расстояние между функциями

f(x)

и

g(x)

можно описывать

не

выражением

(5.9),

а

иначе.

Например, за расстояние между функциями можно при­ нимать максимальную разность между соответствующими значениями функций

max\f(x)-g(x)\

(5.11)

X

 

(рис. 4). В тех

случаях, когда написанный максимум

не достигается,

вместо него следует рассматривать точ-

90

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

 

ную верхнюю границу значений \f(x)—g(x)\.

(Напомним,

что точной верхней границей будет в этом случае число, которое не меньше каждого из модулей разностей и к ко­ торому значения этих модулей разностей подходят сколь угодно близко.)

Приближение в смысле так определенного расстояния

функций из последовательности (5.8) к

функции s (х)

означает, что

 

 

 

lim

max | s„ (л') — s (х) \ — 0,

 

П-»СО

X

 

 

т. е. каково бы ни

было

е > 0 , начиная

с некоторого

п будет

 

 

 

max I sn

(х) — s (х) | < е.

 

X

 

 

Иными словами, каково бы ни было е > 0 , начиная с не­ которого п, при любом X будет

I s„ (х) — s (х) I < е.

Это и было выше определено как равномерная сходимость

последовательности

(5.8) к функции s (х) на

промежутке

от а до Ъ.

 

 

Геометрически

равномерная сходимость

означает не­

ограниченное приближение графиков функций s„ (х) к графику (л-) в местах их наибольшего взаимного уда­

ления. В остальных местах графики

sn(x) будут подхо­

дить к графику s(x) еще теснее.

 

З а м е ч а н и е . Каждая функция

последовательности

(5.7) может, в частности, быть постоянной. В этом слу­ чае последовательность функций превращается в число­ вую последовательность

 

Si,

s 2

sn> •••

 

(5.12)

Предположим, что

эта последовательность сходится

к пределу s. Это значит, что по каждому

е >• 0 найдется

такое п0, что при / г > л 0

 

 

 

 

 

| S „ - S | < 8 .

 

. .

Находимое так щ никак

не зависит от

какого

бы то

ни было X. Поэтому

мы с полным основанием

можем

считать, что

последовательность (5.12),

т. е. числовой

ряд, сходится

равномерно

для всех значений х.

 

 

§ 3. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ

91

 

П р и м е р.

Последовательность

функций

 

 

 

 

JC, X^j Х^у ...,

 

 

(5.13)

сходится к предельной функции s(x)=0

в точке х= 1/2. Действи­

тельно,

 

 

 

 

 

 

Мы можем

утверждать, также,

что рассматриваемая последо­

вательность функций

сходится к предельной — функции s (х) = О

для

всех 0 < л ; < 1,

ибо действительно,

для любого х0 из

[0, 1)

по

всякому е. > 0

найдется такое іц,

что для и > пп

 

Заметим, однако, -что по мере приближения х0 к единице для каждого данного е приходится брать все большие и большие зна­ чения л0 : степени по мере приближения основании к единице убывают все медленнее и медленнее. Достаточно сравнить, напри­ мер, последовательности

0,1;

0,01;

0,001;

 

н

 

 

 

 

0,9;

0,81;

0,729; ...

 

Это наводит нас на мысль,

что в данном

случае по 8 > О

нельзя найти такого п0 ,

что

при любом 0 <

х0 < 1 для п. > п0

будет

 

 

 

 

 

X"

<

6.

 

 

о

 

 

Такая мысль верна. В самом деле, предположим, что по како­ му-то s (пусть для конкретности будет 8 = 0,1) такое п0, годное для всех х0, нашлось. Это значит, что

для всех х0 ИЗ [0, 1). Но этого не может быть, так как в дейст­ вительности последнее неравенство выполняется не для всех *0 , а лишь для тех, для которых

* < У з л .

Следовательно, сходимость последовательностей функций (5.13) к предельной функции s (х) = 0, хотя и имеет место для любого X из [0, 1), но не является равномерной сходимостью для 0 < х < 1.

Смотрите также файлы