Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Рис. 5.

/ 92

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

К этому же выводу можно прийти и из геометрических сооб­ ражений. Рассмотрим графики функций, составляющих последо­ вательность (5.13), и график предельной функции s(.v)=0

(рис. 5).

Ввиду того, что

\хп — 0 |=.ѵ»,

точной верхней границей значе­ ний х п при X из [0, 1) будет 1. Таким образом, определяемое выражением (5.11) расстояние между любым членом х п после­ довательности и функцией s (,ѵ) будет равно I. Значит, и предел этих расстоянии будет равен 1, 'а не нулю, как это нужно было бы для равномерной сходимости.

По существу, «настоящей» сходимостью функции в той или иной области является именно ее равномерная сходимость в этой области. В условиях равномерной сходимости функций при пере­ ходе к пределу сохраняются основные свойства функций, их интегралов и производных.

Почти очевидна следующая

теорема.

 

Т е о р е м а . Если

каждая

из последовательностей

функций

 

 

 

si(x),

s2 (x),

s„(.v:), ...

(5.14)

tx(x),

tojx)

t„(x), ...

(5.15)

сходится к своим предельным функциям s (х) и t (х) рав­ номерно в некоторой области, то равномерно в этой же области будет сходиться и последовательность сумм

(SiW + 'lW). foW + M*)).

(Sa(x) + ta(x)),

...

 

(5.16)

f

\

 

 

и ее пределом будет функция

s (х) +t (х).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольное е > О

и найдем такие nL и пъ

что для

п>пг

\s{x)-sn{x)\

<

(5.17)

§ 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ

93

и для

п^п2

 

 

| * ( * ) - U J C ) | < !

(5.18)

при всех х. В силу равномерной сходимости последо­ вательностей (5.14) и (5.15) это сделать можно. Если взять п превосходящим как пъ так и я2 , то оба нера­ венства — (5.17) и (5.18)—будут выполняться.

Сложив эти неравенства, мы получим

e>^s(x)-sn(x)\

+

\t(x)-tn(x)\^

 

 

 

^\s(x)-sn(x)

+ t(x)-ta(x)\

=

 

 

 

= ï(s(x) + t(x))-(sn(x)

+ tn(x))\

по-прежнему при всех

х. Это

означает

равномерную

сходимость

последовательности

(5.16).

 

 

§ 4. Предел последовательности непрерывных функций

 

Т е о р е м а .

Если

последовательность

непрерывных

на

сегменте

[а,

Ь] функций

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si M .

s2 (x),....

s„(*),'• ••

 

 

сходится на

сегменте

[а, Ь] к

предельной

функции

s(x)

равномерно,

то предельная

функция

s{x)

также непре­

рывна на этом

сегменте.

 

 

 

 

s(х)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Непрерывность

функции

в

точке х0 (которую

нам предстоит

доказывать) состоит

в том, что по любому е>>0 можно найти такое б, что из I h I < ô следует

 

 

\s(x0 + h}^-s(x0)

| < 8

 

(если, разумеется, число

x0-{-h

расположено в сегменте

[а, Ь}).

 

 

 

 

 

 

Мы имеем для любых х0, h

и п:

 

 

\s(x0 + h)—s(x0)\

=

 

 

 

 

=

(А'О +

h) - sn (х0

+ h) + sn (x0

+ h)-

sn (x0) +

+

sn (x0) — s (xQ)\^\s

{x0 + h) -

sn(x0 + h)\ +

 

+1 sn

(x0 + h) -

s„ (xQ) \ + \sn

(x0) -

s (x0) |. (5.19)

94

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

На основании равномерной сходимости можно взять столь большое п, чтобы для любого х из сегмента [а, Ь] выполнялось

| s ( x ) - s „ ( * ) | < - J - .

 

В частности, будет и

 

|в(*0 + А) -5 п (*о + А ) ! < у .

(5.20)

M * o ) - s ( * o ) K | .

• (5.21)

Итак, пусть нужное п выбрано'. По условию функция sn(x) является непрерывной. Следовательно, найдется такое б, что при любом [ h | < ô

 

 

 

M * o + A ) - s n ( x „ ) | < f .

 

(5.22)

Сопоставляя

(5.19), (5.20), (5.21) и (5.22), мы видим, что

 

 

 

\s(x0

+

 

h)'-s(x0)\<e.

 

 

Теорема

доказана.

 

 

 

 

 

§ 5. Переход к пределу

под знаком

интеграла

Т е о р е м а .

Если

последовательность

 

непрерывных

на сегменте

[а, Ь\

функций

 

 

 

 

 

 

Si(x),

s2 (x),..., s„(*),.-•

 

(5.23)

сходится

равномерно

в

этом сегменте

к

предельной

функции

s(x),

то при

любых

a^a^ß^b

 

 

 

 

 

ß

 

 

ß

 

 

 

 

 

lim

\ s„ (x) dx = \ s (x) dx.

 

(5.24)

 

 

 

" - œ

о

 

 

а

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим прежде

всего, что

в наших условиях предельная функция s-(x) является непрерывной (см. § 4), и потому интеграл

Р

^ s (x) dx

имеет смысл.

§ 5. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА

95

Ввиду обусловленной равномерной сходимости по­

следовательности

(5.23) к предельной функции s(x)

по

любому

Б > 0

найдется такое /г0,

что при /г 5 ; nQ

для

любого a ^ g x r g ô будет выполняться

неравенство

 

 

 

 

\s(x)-sn(x)\<~.

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

р

'

ß

(x)

ß

 

 

 

,

15 s„ (x) dx —

J = I 5 (s„ M — s (*)) dx | ^£

a

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

ß

 

 

ß

 

 

 

 

^

jj |s„(A:)-s(A:)|d.ï< ^ ^

d x

= e Ê - = ^ < e .

 

 

a

 

 

a

 

 

 

Таким

образом,

по произвольному e > 0

нашлось такое

п0, что при

п > / г 0

 

 

 

 

 

 

 

S

 

ß

 

 

 

 

 

 

^ s„ (x) dx—

(x) dx

 

 

 

а это и означает сходимость (5.24).

 

 

 

С л е д с т в и е

(предельный

переход под знаком интег­

рала с переменным верхним пределом). Если последова­

тельность

непрерывных

в

в сегменте [а, Ь] функций (5.23)

сходится

равномерно

этом

сегменте к

предельной

функции

s(x),

то

при

любом

х из этого же сегмента

последовательность

интегралов

 

 

X

 

X

 

 

 

X

 

<\)s1(x)dx,

^s2(x)dx,...,

^sn(x)dx,...

(5.25)

a

 

 

a

 

 

a

 

с переменным

верхним

пределом,

как последовательность.

функций сходится

к~ функции

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

ls(x)dx

 

(5.26)

 

 

 

 

a

 

 

равномерно для всех х из сегмента [а, Ь].

96ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

До к а з а т е л ь с т в о . Мы можем положить в дока­ зательстве теоремы $ = х и получить тем самым сходи­ мость последовательности интегралов (5.25) к интегралу

(5.26). Поскольку выбор по е > 0 соответствующего п0 в условиях теоремы не зависит от ß (или, в условиях следствия, от л-), эта сходимость оказывается равномерной.

§ 6. Переход к пределу под знаком производной

Т е о р е м а . Пусть последовательность

функций

Si(x), s2(x),

sn(x), ...

(5.27)

сходится в сегменте [а, Ь] к предельной функции s(x). Пусть, далее, функции из последовательности (5.27) имеют непрерывные производные, последовательность которых

sî(x), sö(x),

s'n(x), ...

сходится к некоторой предельной функции а (х) равно­ мерно во всем сегменте [а, Ь].

Тогда

2) последовательность

(5.27)

сходится к

своей пре­

дельной функции s(x) равномерно.

'

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

а^а<.х^Ь.

На

основании предыдущей теоремы (о переходе к пределу под знаком интеграла) мы имеем

 

X

X

 

1 im

[ s'n (х) dx = [ а (х) dx.

Но, с другой

стороны,

X

 

lim (s„ (x) — s„ (a)) =s(x)—s (а),

lim \s'n (х) dx=

n со а

n - * CO

так что

 

 

X

s (x) — s (a) = § a (x) dx.

a

Смотрите также файлы