Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

97

Дифференцируя это равенство (при этом интеграл справа дифференцируется по его переменному верхнему пределу), мы получаем

^s(x) = a(x),

и часть I) доказана.

Для доказательства 2) напишем тождество

X

s„ (*) = s„ (а) + \ s'„ (х) ах.

а

. Как уже отмечалось (см. § 3), для доказательства рав­ номерной сходимости последовательности сумм доста­ точно установить равномерную сходимость последова­ тельностей, составленных из слагаемых, т. е. в данном случае последовательностей

 

Sx (a), s2(a),

sa(a),

. . .

и

 

 

 

 

X

X

 

X

 

\si

(х)dx,

\s'2(х)dx,

^s'n(х)dx, . . .

а

 

а

а

 

Но первая из этих последовательностей сходится равно­ мерно на основании замечания в § 3, а вторая —в силу следствия теоремы § 5.

§ 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса

О п р е д е л е н и е . Функциональцый ряд

"і (X) + "2 (х) + ••• + «/» (*) + ...

называется сходящимся в некоторой области D равно­ мерно, если в этой области последовательность его частичных сумм

Si(x),

Sz'ix),

sn(x),

...

сходится равномерно к" своей предельной функции s(x). Весьма удобный признак равномерной сходимости функционального ряда был предложен Вейерштрассом.

Этот признак имеет вид следующей теоремы.

4 H. H. Воробьев

98

 

 

 

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

 

 

 

Т е о р е м а .

Функциональный

ряд

 

 

 

 

 

 

"і (x) + Щ (х) + .. . + «„ (x) +

. . . ,

 

(5.28)

каждый

член

которого

является

функцией,

определен­

ной

на сегменте

[а, Ь], сходится

равномерно

на

этом

сегменте,

если

существует такая

последовательность

 

 

 

 

 

Cl» ^2>

• • • і'

 

• • •

 

 

 

положительных

постоянных,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ип(х)\^са

 

 

 

 

'

(5.29)

для любого

x из

[а, Ь]и

любого

я = 1, 2,

а ряд

 

 

 

 

 

Сі + с2 + ... + сп

...

 

 

(5.30)

сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иногда в условиях этой теоремы функциональный

ряд

(5.28)

называется

мажорируемым,

числовой ряд

(5.30) — мажорирующим,

а

сама

теорема — теоремой

омажорировании.

До к а з а т е л ь с т в о . Из (5.29) и (5.30) мы на осно­ вании признака сравнения (см. § 2 главы 3) можем

заключить

о сходимости

функционального

ряда

(5.28)

в каждой точке сегмента [а,

Ь]. Это значит, что мы

можем

говорить

о сумме

функционального

ряда

(5.28)

как о

функции

5 (х), определенной для каждого х из

этого

сегмента.

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу сходимости ряда (5.30) (обозначим его сумму

через

S)

возьмем

теперь

произвольное е >

0 и

найдем

по

нему такое па,

что при

п^п0

 

 

 

 

 

S -

(ci + с2

+ . . . -f- с „ ) < е,

 

 

т.

е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с„+ іЧ-с«+2 +

- - - < е .

 

(5.31)

Напишем для этого п

 

 

 

 

 

где

 

 

 

sn(x) + r„(x) =

s(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гп

(х) = и„+ і (x) +

и л + 2

(x) +...

 

(5.32)

Из

(5.29),

(5.31)

и

(5.32)

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

г „ ( * ) < е

 

 

 

 

§ 8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

СУММЫ

99

при любых

п^п0

 

и х из

рассматриваемого

сегмента.

Таким образом, мы по каждому

е находим

такое п0,

что * при п^п0

имеет место

 

 

 

 

 

\s,l(x) —

s(x)\<E

 

для любого X. Это и означает равномерную сходимость

ряда.

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Функциональный ряд

 

 

sin \Н

,

sin Т-х .

sin ft2*

 

 

I 2

1

22

. . . H

-s 1- . . .

 

сходится равномерно

 

для всех

вещественных х, потому что при

всех X и п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin п2х

; п 2 '

 

 

 

 

 

г?

 

 

а ряд

 

 

 

 

 

 

как известно, сходится.

§ 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося

ряда с непрерывными членами

Т е о р е м а .

Пусть

все члены

функционального

ряда

«

1 M + " 2

(х) + ... + ип(х)

+ ...

 

(5.33)

определены на

сегменте

[а, Ь\,

непрерывны

на

нем и

составленный из них функциональный

ряд сходится на

этом отрезке

равномерно.

 

 

 

 

Тогда суммой ряда

(5.33) будет функция,

непрерыв­

ная на сегменте [а, Ь].

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

непрерывности

членов

функционального ряда (5.33) следует непрерывность

каждой из его частичных

сумм

Si(x), So_(x),

sn(x),

по условию эта последовательность частичных сумм сходится равномерно к предельной функции s (х), являю­ щейся суммой ряда (5.33). Следовательно, на основании теоремы § 4 функция s(x) также должна быть непре­ рывной.

4* .

100ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§9. Почленное интегрирование функциональных

рядов

Теоремы о почленном дифференцировании и интег­ рировании равномерно сходящихся последовательностей непосредственно приводят к теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании равномерно схо­ дящихся рядов.

Т е о р е м а

(о почленном

интегрировании

рядов).

Если

функциональный

ряд

 

 

 

 

"і (х) +

«г (х) +...

+ ип (х) + . . .

(5.34)

сходится равномерно

на некотором

сегменте

[а, Ь] и

имеет

суммой

функцию s{x),

то ряд

интегралов

 

ß .

ß

 

ß

 

 

J их(x) dx «a(x)dx + ...-\-^ un (x)dx + ... (5.35)

(здесь,

a

о

a

также

сходится

как

и раньше, a < a < ß < 6 )

равномерно

на этом сегменте и имеет

суммой

функцию

 

 

ß

 

 

 

 

 

^ s (x) dx.

 

 

 

 

 

а

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

sn(x)

— п-я

частичная

сумма

ряда

(5.34). Тогда

 

 

 

ßР

lsn(x)d=](u1(x)

+ ...+ ип (x)) dx

(5.36)

a a

будет, очевидно, л-й частичной суммой ряда (5.35). По условию теоремы последовательность

Si (л:), s2(x)

s„(x),....

частичных сумм ряда (5.34) сходится на сегменте [а, Ь] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с пере­ менным верхним пределом (следствие из § 5) последова­ тельность интегралов

Х~

X

X

 

l^sl(x)dx,

$s2 (x)dx, ....

^sn(x)dx,

... (5.37)

a

a

a

Смотрите также файлы