Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

150

ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

лишь

векторы, лежащие в плоскости XY).

Однако если

это имеет место, то справедлива формула

(8.19).

Обратимся к важному частному случаю. Будем называть вектор нормированным, если его длина (норма) равна 1. Система векторов называется нормированной, если каждый входящий в нее вектор нормирован. Оче­

видно,

для

превращения

вектора

в

нормированный

(или, как

говорят,

для

его нормировки) достаточно

разделить вектор на его длину, на его норму.

 

Ортогональная и нормированная система векторов

обычно

называется

ортонормальной

(или ортонормиро-

ванной)

системой.

 

 

 

 

 

Вернемся теперь

к ортогональной

системе

векторов

аъ а2 ,

ö 3

и предположим,

что она

является

ортонор­

мальной, т. е. что

 

 

 

 

 

 

 

І«і1==|«а| = | а з | =

1-

 

 

В этом случае формула (8.17) приобретает особенно простой вид:

 

x — (xa-ij ах + (ха2) аг + (ха3) аг,

(8.20)

т. е. коэффициенты разложения вектора

по ортонор­

мальной

системе

являются скалярными его произведе­

ниями на векторы

системы.

 

Примером ортонормальной системы является тройка

векторов

i , i , к, и само задание вектора

в виде (8.2)

является

его разложением по этой системе.

Все • сказанное выше можно перенести и на случай конечномерного, n-мерного пространства, в котором

векторы

являются последовательностями

из п вещест­

венных

чисел:

 

 

х = (х1г х2, ..., хп).

(8.21)

Сложение «.-мерных векторов и умножение их на вещественные числа, как и в трехмерном случае, про­ изводятся покомпонентно.

Компоненты xlt хп вектора (8.21) можно пони­ мать как алгебраические длины его проекций на коорди­ натные оси Хх,... , Хп. За длину вектора х естественно

 

§ I. ПРОЕКЦИИ И РАЗЛОЖЕНИЯ

ВЕКТОРОВ

151

принять

выражение

 

 

 

 

 

Ѵх\ + ---+х%.

 

Рассматривая

плоскость,

проходящую через

ось

вектора

х и координатную

ось Хі(і—\, ... , п),

мы

имеем

 

 

 

 

 

 

cos

Ö i ) =

. X i

. .

 

Если ввести другой вектор У = (Уъ ... , Уп),

то, подобно тому, как это было в трехмерном про­ странстве,

COS (Х, у) :

ХіУі + --. + ХпУп

 

где стоящее в числителе выражение называется ска­

лярным

 

произведением векторов х

и у.

Как и в трех­

мерном

 

случае, оно обозначается через

ху и

является

операцией,

коммутативной

и дистрибутивной

 

относи­

тельно

 

сложения

векторов

и относительно умножения

вектора

 

на число.

 

 

 

 

 

 

 

Называя

векторы

в n-мерном пространстве

ортого­

нальными,

если

их

скалярное

произведение

равно

нулю,

 

мы можем

говорить об ортогональных

системах

векторов

в n-мерном

пространстве. Ясно, что в

п-мер-

ном

пространстве

ортогональная

система

векторов

может

состоять не более чем из п векторов.

 

 

Пусть

 

ат

(т<п)

— произвольная

ортого­

нальная

система

векторов в n-мерном

пространстве, а

вектор

 

X имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

X=Xjßi

+ х2а2 +...+хт ат .

Тогда,

умножая

это равенство скалярно на ai

....

m), мы получаем, что

ха-і

т. е.

152

ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ

СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

 

 

Правая

часть

этой

формулы

называется

разложением

вектора

х

по ортогональной

системе аъ

... ,

ат.

 

Если

векторы ах, ...

, ат

нормированные, т. е. если

 

 

 

ІвлІ =

... = |« « 1 =

1.

 

 

 

то система ах,

...

, ат

называется

ортонормальной

и

формула

(8.22)

приобретает вид

 

 

 

 

 

 

л; = (хах)

ах +...

+ (хат) ат.

 

(8.23)

Из наглядных соображений видно (строгого дока­

зательства мы приводить не будем),

что при т<Сп

не

всякий

вектор

пространства

может

быть

разложен

по

системе

аъ

..., ат. Однако

из сказанного

следует,

что если он все-таки разлагается,

то это разложение

имеет вполне определенный вид, описываемый

в (8.22),

а для случая ортонормальной

системы —в (8.23).

 

В качестве примера ортонормальной системы в n-мерном пространстве векторов (8.21) можно указать систему векторов («координатных ортов»):

(1Д . . . , 0 ) , (0,1, 0),

(0,0, ... , 1).

По этой системе разлагается любой вектор (8.21) и коэффициентами разложения являются сами компоненты вектора.

§ 2. Векторы и функции

Всякий вектор, понимаемый как последовательность чисел, является своего рода функцией. При этом неза­ висимой переменной можно считать номер компоненты вектора, а зависимой переменной — величину компо­ ненты. Так, например, вектор (3, 7, —12) может быть задан и в виде таблицы

Номер компо­

1

2

3

ненты

 

 

 

Величина ком­

3

7

—12

поненты

 

 

 

§ 3. НОРМИРОВАННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

f 53

С другой стороны, и функции обладают многими ос­ новными свойствами векторов. Их можно, подобно век­ торам, складывать, причем значения функции-суммы равны суммам соответствующих значений функций-сла­

гаемых. Их можно и умножать

на

число,

причем на

это число умножается 1

каждое,

значение

умножаемой

функции.

 

 

 

 

Оказывается, что для

функций

удается

обнаружить

аналоги и дальнейших понятий векторной алгебры: нор­ мы, скалярного произведения (тем самым можно в ка­

ком-то смысле говорить и о «косинусе

угла

между

двумя функциями»),

ортогональной и ортонормальной

систем и разложений по таким системам.

 

 

В §

1 речь шла

о

конечномерных

пространствах.

В таких

пространствах

удается иайти

конечную

(т. е.

состоящую из конечного числа векторов) ортогональ­ ную систему, по которой можно разложить любой вектор пространства. Пространство функций вещественного аргу­

мента конечномерным уже

не

является,

и потому

та­

кой конечной ортогональной

системы в

нем

найти

не

удастся. В

связи с этим

возникает вопрос о

поисках

бесконечных

систем функций,

которые могли

бы стать

основой разложения достаточно разнообразных функ­ ций, и о нахождении коэффициентов в этих разло­ жениях.

Но разложение функций по бесконечной системе перестает быть обычной суммой, превращаясь в ряд или

даже в интеграл.

Такого рода

разложения будут

рас­

сматриваться

в оставшихся главах

курса.

 

 

§ 3.

Нормированные и ортогональные

функции

Скалярным произведением векторов является сумма

произведений

их

компонент.

 

 

 

 

Пусть

фх

(х)

и

ф2 (х) — две

функции,

заданные

на

сегменте

[а,

Ь]

и

непрерывные

на

нем.

Интеграл

от

их произведения

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ ф! (je) ф2 (x) dx

 

(8.24)

 

 

 

 

а

 

 

 

 

по своей внешней форме сильно напоминает скалярное

Смотрите также файлы