Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

154 ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

произведение (не следует забывать, что интегрирование является своеобразной разновидностью суммирования).

Поэтому все те понятия, которые определяются че­ рез скалярные произведения векторов, и все свойства векторов, которые выражаются через их скалярные произведения, можно попытаться распространить и на непрерывные функции, пользуясь вместо скалярных произведений интегралами вида (8.24).

Норма вектора (т. е. его длина) есть квадратный корень из скалярного произведения вектора самого на

себя. Поэтому естественно ввести следующее опреде­

ление.

Нормой функции

ц>(х) на сег­

О п р е д е л е н и е .

менте [а, Ь] называется

квадратный корень

из интеграла

ь

 

 

] Ф2

(*)

dx.

а

 

 

Если этот интеграл равен

единице:

ь

 

 

§ Ф2 (х)

dx=l,

а

 

 

то функция ф (х) называется нормированной на [а, Ь]. Ортогональность векторов означает равенство нулю

их скалярного произведения.

По аналогии введем определение ортогональности

функций.

 

 

<f>i{x) и ф2 (х) назы­

О п р е д е л е н и е .

Функции

ваются ортогональными

[а,

Ь],

если

ь

 

 

 

$ ФІ (х) ф2

(х) dx = 0.

а

§ 4. Ортогональные и нормированные системы

функций

Рассмотрим теперь последовательность функций

ФіМ. фг(*)> • • • >

(8.25)-

заданных и непрерывных на сегменте [а, Ь], среди' которых нет функции, тождественно равной нулю.

 

§ 4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ

 

О п р е д е л е н и е .

Последовательность

(8.25)

назы­

вается

нормированной

на

сегменте [а, Ь],

если

норми­

рована

каждая функция

последовательности, т. е. если

 

ь

 

 

 

 

 

 

^ ц>п (х) dx =

1

при любом п.

 

 

 

à

 

 

 

 

 

Последовательность (8.25) называется

ортогональной на

сегменте [а, Ь], если ортогональны

на

этом сегменте

две различные входящие в нее функции,

т. е. если

ь

 

 

5 (рп(х) ц>т(х) dx = 0 при

пфт.

а

 

 

Последовательность (8.25) называется

ортонормаль-

ной (или ортонормированной) на некотором сегменте,

если

она

является

 

нормированной

 

и

ортогональной,

т.

е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

Г 1,

если п = т,

 

 

 

 

 

\

ф* (х

Ф т

 

(х)dx

= {

если

 

пфт.

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

1 0,

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

ѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Система

 

функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

cosх,

sin х, cos 2х,

sin 2х, ...

 

 

(8.26)

называется

системой тригонометрических

 

 

функций.

Эта

система

ортогональна на сегменте [—л,

я]. В самом

деле

(мы далее

будем

для

единообразия

полагать

l=cos(k),

при

л =

0,

1,

2, ...

...,

т = 0,

1, ... к

пфт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

cos tix cos tnx dx = y

 

^

(cos

(n—m)

A: +

COS (n-j-m) x) dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—л

Далее,

при

« = 1 , 2

 

 

 

m=l,

2,...

и

 

пфт

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

sin ru: sin тх dx — -^-

 

^

(cos

(n — m) * — cos (n-f-m) д: d*

=

 

—л

 

 

 

 

 

—я

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 \ft—m

sm (и — m) д;

-т—

sin (n +

w) x

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

n\m

 

 

 

 

 

156 ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ

и, наконец, при любых п = 0, 1, 2, ... и т = 1 , 2, ...

 

я

 

я

 

 

 

 

 

^ cos ?!Ä sin тх dx~Y ^

(sin

(m + га) л: +

sin (m — л) л,-) dx.

 

— я

 

—я

 

 

 

 

Здесь интеграл or

каждого

из слагаемых

равен

нулю,

потому

что при k Ф О

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

я

 

 

 

 

Ç

sin fee d.v =

— c o s fcc

= 0,

 

 

 

— я

 

 

 

—я

 

 

а при fe = 0

 

sin kx = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тождественно на [—я, я].

 

 

 

 

 

 

Таким образом, система (8.25) на сегменте [— it, л] является

ортогональной. Нормированной на

сегменте

[—л,

я] эта система

не

будет, так как

 

 

 

 

 

 

 

я

я

 

 

 

я

 

 

 

^

cos2 nxdx— ^

sin2

nx dx=~2

(cos2 / « + sin2

nx) dx =

—я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— я

_

и

нормой каждой

из

функций

sin nx и

cos nx

является Y я,

а норма единицы, очевидно, равна

^ 2 я .

 

 

 

 

§ 5. Нормировка систем фупкций

 

 

Следующий переход от произвольной системы, задан­

ной на некотором сегменте

функций

^(х),ц>2(х)

к нормированной на этом сегменте системе

называется

ее

нормировкой.

Он довольно прост и сходен с

норми­

ровкой' векторов. Для того чтобы его осуществить, достаточно вычислить для каждой из функций после­ довательности (8.25) интеграл

ь

\<р%(х)сІх=К

а

и разделить каждую функцию ф я на ]/Л„. Очевидно, при этом мы получим нормированные функции:

ь

ь

§ 6, РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СИСТЕМАМ ФУНКЦИИ

157

Нормировка системы тригонометрических функций (8.26) на сегменте [—я, я] состоит, таким образом, в де­ лении единицы на }/г2л и в делении каждой из осталь­ ных функций на Ул. В результате получится ортонормальная на сегменте [—я, я] система функций

1 1

1

•

1

о

1 • о

 

]А2я' У n•.cosx,

Yn—

smx,

УН^^coszx,

77Vn=sm2x,

...

Получение из некоторой последовательности функ­ ций ортогональной системы называется ее ортогонализацией. Этот процесс более сложен, чем нормировка, и даже не всегда возможен. Мы здесь не будем останавли­ ваться на этом вопросе.

§ 6. Разложение по системам функций

Пусть снова дана заданная на [а, Ь] последователь­

ность функций

 

 

 

Фі(х),

ф 2 ( х ) , ф п ( х )

 

(8.27)

а / (х) — некоторая

функция, также

заданная

на [а, Ь].

Мы будем рассматривать вопросы,

связанные

с разло­

жением функции f (х) в ряд по системе функций (8.27),

т. е. с представлением функции f (х)

в виде

суммы

сходящегося ряда

 

 

f (х) = аіф! (*) + а2 ф3 (*) + ... + а„ф„ (X) + ...

С такого рода представлениями функций мы уже

встречались при разложении функций

в ряды

Тейлора

и Маклорена. В случае рядов Тейлора в качестве

последовательности

(8.27)

бралась

последовательность

1,

х-а,

(х-а)2,

(8.28)

а в случае рядов Маклорена — последовательность

 

1, X, X2, ...

(8.29)

Хотя разложение функции в ряды Тейлора и Мак­ лорена весьма полезно для теории и практики, но оно страдает рядом недостатков. К их числу следует отне­ сти то, уже отмечавшееся обстоятельство, что суммами

158

ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИИ

 

сходящихся

степенных

рядов могут быть лишь функ­

ции,

дифференцируемые

сколько

угодно

раз. Вместе

с тем как в самой математике, так и в ее

приложениях

приходится

исследовать

функции,

имеющие

«неплавно­

сти», «изломы» и даже «скачки».

 

 

 

 

 

Кроме того, ни одна

из последовательностей

(8.28)

и (8.29) не является ортогональной ни

на

каком из

сегментов.

Поэтому на

разложения

функций. в

ряды

Тейлора и Маклорена не удается перенести приемы, применяемые при разложениях векторов по ортогональ­ ным системам.

Описанная в § 4 система тригонометрических функ­ ций и некоторые близкие ей системы лишены указан­ ных недостатков степенных рядов. Разложения по этим системам будут рассматриваться в следующей главе.

Г Л А В А 9

РЯДЫ ФУРЬЕ

§1. Ряды и коэффициенты Фурье

В§ 1 главы 8 мы выяснили, что если нам даны три вектора

 

<Х\,

ö 2 ,

#з>

 

составляющих ортонормальную

систему,

т. е. векторы,

для которых

 

 

 

 

 

\ах\

=

\аъ\

=

\аъ\=\,

 

Ö I Ö 2 = а 2 а 3

=

а3ах—О,

 

то любой вектор х можно представить в виде

где коэффициентами

хъ

хг,

х3

являются

соответственно

скалярные произведения ахх,

а2х и а3х.

Пусть нам дана

ортонормальная на сегменте [а, Ь]

последовательность

функций

 

 

Щ(х),

щ(х),

 

Ц)п(х), ...

(9.1)

и некоторая непрерывная функция f (х). Займемся зада­ чей о разложении функции / (х) в ряд по функциям (9.1), т. е. о представлении функции / (х) в виде

/ (х) = оцфх (х) + а2 ф2 (*) + ... + ап ф„ (х) + ...

Следуя проводимой нами аналогии между векторами и функциями, найдем числа

ь

an = \f(x)yn(x)dx,

л = 1 , 2

(9.2)

Смотрите также файлы