ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
160 |
ГЛ. |
9. |
РЯДЫ |
ФУРЬЕ |
|
|
и составим |
ряд |
|
|
|
|
|
|
Яіфі (х) + а2 ф2 |
(х) + • • • + |
а„фи (х) + . . . |
(9.3) |
||
О п р е д е л е н и е . |
Ряд |
(9.3) |
называется |
рядом |
||
Фурье функции по системе функций (9.1). |
Коэффициенты |
||||||||||||||||||||
этого |
ряда |
|
называются |
коэффициентами |
|
Фурье |
функ |
||||||||||||||
ции f (х) по системе (9.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Сравнительно простой и удобной системой функций |
||||||||||||||||||||
для разложений в ряд Фурье по ней на |
сегменте [— я, я] |
||||||||||||||||||||
является |
описанная |
|
в |
главе 8 |
нормированная система |
||||||||||||||||
тригонометрических |
функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
1 |
1 |
|
—7= cosx, |
1 |
|
. |
1 |
|
|
„ |
|
1 |
. |
„ |
|
|||||
У |
= |
|
|
|
- 7 = |
sin я, |
-у= cos 2х, |
|
-7=sin2x, ... |
||||||||||||
У 2л ' У л |
|
|
У я |
|
|
У л |
|
|
|
|
У л |
|
|
|
|||||||
|
Разложение |
функции |
/ (х) |
в |
ряд |
Фурье |
по |
этой |
|||||||||||||
системе |
на |
сегменте |
[—я, |
л] имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
I |
+ |
2 |
|
ifln cos пх |
+ |
bn |
sin nx), |
|
(9.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
коэффициенты |
|
Фурье |
определяются |
по |
формулам |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aa |
= |
^f(x)dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9-5) |
|||
|
|
|
|
|
|
— я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о„ = |
і |
^ |
/ (я) cos |
пх dx, |
|
|
п = 1 , |
2, |
... |
(9.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
— я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn — -^ ^ |
/ |
(*) sin nxdx, |
|
|
n—l, |
|
2 , . . . |
(9.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
— я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
(9.4) |
называется |
тригонометрическим |
рядом |
||||||||||||||||
Фурье, |
|
чтобы |
отличать |
его от |
рядов |
Фурье, |
получаю |
||||||||||||||
щихся |
при |
разложениях |
по другим |
системам |
функций. |
||||||||||||||||
Однако тригонометрические ряды Фурье употребляются в теории и практике по сравнению с остальными рядами Фурье столь часто, что обычно их называют «просто» рядами Фурье. Ряды же Фурье по другим системам
§ 1. РЯДЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ |
161 |
функций называются часто «обобщенными» |
рядами |
Фурье: ). |
|
Заметим, что при п — 0 |
|
cos пх -—- cos 0 = 1 . |
|
Поэтому формулу (9.5) можно рассматривать как част
ный случай формулы (9.6), |
который |
|
получается |
при |
||
п = 0. Поэтому мы будем в тех случаях, |
когда это пред |
|||||
ставится |
удобным, формулы |
(9.5) и |
(9.6) |
объединять |
||
в общую |
формулу |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
а,і = -~ § / (х) cos пх dx, |
п = |
0, |
1, |
2, ... |
(9.8) |
|
|
— я |
|
|
|
|
|
Отметим еще следующее терминологическое обстоя тельство. Характеризация некоторого ряда как триго нометрического означает, что этот ряд имеет вполне определенный внешний вид: его членами являются три гонометрические функции вида cos пх и sinnx, снаб женные теми или иными коэффициентами. Характери зация же ряда как ряда Фурье указывает на вполне определенное происхождение его коэффициентов по фор мулам типа (9.2) (в тригонометрическом случае эти формулы заменяются на конкретные формулы (9.5) — (9.7)).
Если функция / (х) непрерывна (или хотя бы кусочно непрерывна) на сегменте [—л, п], то все интегралы вида (9.2) имеют смысл, и таким образом можно гово рить о ряде Фурье этой функции и о его сходимости.
По аналогии с векторами можно |
было бы ожидать, что |
||
сумма ряда Фурье функции / (х) |
должна |
существовать |
|
и быть равной самой |
функции |
/ (х). Обычно так оно |
|
и есть, хотя, конечно, может оказаться, |
что ряд Фурье |
||
некоторой функции / (х) |
не сходится вовсе или же схо |
||
дится, но не к функции |
/ (х), а к |
какой-нибудь совсем |
|
другой функции. С подобным явлением мы уже встре чались при разложениях функций в степенные ряды.
В связи со сказанным перед нами встает задача: выяснить, в каких случаях ряд Фурье функции f (х)
J ) Следует подчеркнуть, что тригонометрические ряды Фурье рассматривались и до Фурье (1768— 1830); сам Фурье ввел в науч ный обиход ряды более общего вида.
6 Н. Н. Воробьев
162 |
ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ |
сходится к этой функции. Оказывается, что для до вольно широкого класса функций это действительно так.
Не вдаваясь в исчерпывающее исследование вопроса, мы приведем систему достаточных условий для того, чтобы функция / (х) была разложима в тригонометрический ряд Фурье в сегменте [—я, я]. Переход от этого сег мента к произвольному другому сегменту не является принципиальным, и мы увидим, что это можно проде лать уже легко.
§ 2. Условия Дирихле и теорема о разложеппп функции в ряд Фурье
О п р е д е л е н и е . |
Функция f (х) называется |
кусочно |
|||
монотонной |
на сегменте [а, Ь], |
если этот |
отрезок раз |
||
бивается на конечное число сегментов |
|
|
|||
[а, |
X]], [хъ |
Хо], [х2, х3] |
[хп, |
Ь], |
|
в каждом из которых функция f (х) монотонна. |
|||||
Если функция f {х) кусочно |
монотонна |
на |
сегменте |
||
[а, Ь], то в любой внутренней точке этого сегмента существуют правые и левые пределы ее значений, т. е. пределы
lim о / ( * ) = / ( с - 0 ) ,
|
|
|
7 i m |
7 W |
= |
f(c + |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
*—е +О |
|
f(x) |
задана |
на |
сегменте |
|||
Т е о р е м а . |
Если |
функция |
|||||||||
[— я, л] |
и является |
на нем кусочно непрерывной, |
кусочно |
||||||||
монотонной |
и |
ограниченной, |
то ее |
тригонометрический |
|||||||
ряд Фурье |
сходится |
во всех |
точках |
сегмента [—я, я]. |
|||||||
Если |
s {х) — сумма |
тригонометрического |
ряда |
Фурье |
|||||||
функции |
f(x), |
то |
во всех |
точках |
непрерывности |
этой |
|||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x) = |
|
f{x), |
|
|
|
|
а во всех |
точках разрыва |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sW = y ' ( / ( * - 0 ) + /(*-fO)). |
|
|
|
||||||
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5(я) = 5 |
( - я ) = [ ( / ( я - 0 ) + / ( - я + |
0)). |
(9.9) |
||||||||
§ 3 . |
РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ |
ФУНКЦИЯ - 163 |
|
Условия |
этой теоремы часто называются |
условиями |
|
Дирихле, а сама теорема — теоремой |
Дирихле. |
Доказа |
|
тельство теоремы Дирихле выходит за пределы данного
курса. |
|
|
|
|
|
Из теоремы. Дирихле видно, что значения |
функции |
||||
/(х) в точках ее разрыва не влияют на ее ряд |
Фурье. |
||||
Это значит, что |
функции, имеющие одни |
и те |
же |
точ |
|
ки разрыва и отличающиеся друг от друга |
лишь в этих |
||||
точках, разлагаются в один и тот же ряд Фурье. |
|
||||
Далее, говорить о непрерывности функции |
f(x) |
на |
|||
концах |
сегмента |
[—я, я], т.е., в точках |
—я |
и я, |
во |
обще не имеет смысла, даже если выполняются |
предель |
||||
ные соотношения |
/( — я - | - 0) = / ( — я ) и / ( я — 0) = /(я). |
||||
В самом |
деле, для непрерывности функции f(x) |
в точке |
|||
янеобходимо двойное равенство
/( я - 0 ) = /(я) = / ( я + 0).
Но выражение / ( я + 0) характеризует поведение функ ции f(x) справа от точки я, т.е. там, где эта функция,
быть может, и не определена. То же |
справедливо и для |
||||
выражения / ( — я — 0). |
Поэтому |
в |
теореме |
Дирихле |
|
концы сегмента |
[—я, я] |
играют |
особую роль, |
сходную |
|
с ролью точек |
разрыва. . |
|
|
|
|
~§ 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье
Далее мы будем говорить, что функция f имеет пе риод Т, если для любого х
|
|
/ ( * ) = / ( * + Г ) , |
|
|
не |
предполагая |
при этом, |
что Т является наименьшим |
|
из |
всех чисел, обладающих этим свойством. |
|||
|
Все тригонометрические |
функции |
вида |
|
|
sin |
пх, cos пх |
( п = 1 , |
2,..,) |
определены для любого вещественного значения х и яв ляются периодическими. Период каждой из них равен 2я. Следовательно, и любая их сумма вместе с постоян ным членом
-^- -f- üi cos X - f bj. sin X + . . . - f Q„ cos nx - f bn sin nx 6*