Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Применим

теперь неравенство (1.24)

для ограниче-

+

в

соответствии

с

формулами

(1.21), (1.23).

ния RfRf

Имеем

RfRf < («2 (/) +

I о (/) Р ) ^ 1»/?'*) +

R f R f ) =

а также

=

R f R f +

R f R f ,

(1.25)

RfRf < R f R f

+

R f R f .

(1.26)

Далее, положив в (1.24)

*а =

Т & Т ^

(/).

Af =

VTg7\ (/„ -

с а) ач ,

получим

У I

I

R f R f <

2

I Ga |U a (/) I2

2

I Ga |(/a - Ca) a4 a l f (7 „ -C a).

a

a

Но если

мы имеем

операторное

неравенство

Л < 5 ,

то справедливо также неравенство

Так как

U A U ^ U B U .

+

1,

то можно поэтому

написать

(/„ — Ca)a_fa_f (7a

Ca) ^

(/a — Ca) (/„ — Ca).

Следовательно,

« №

< />(0 2

[ О, |

- С„) (/„ - С„).

(1.27)

Совершенно

аналогичным путем для R f

найдем

W

а

р а) 1 1о„ |

(/„ - c j ( 7„ - с„)

Имея в виду использовать

+

ситуацию, когда af и а? ока-

жутся «зажатыми»

между

(/„ — Са) и

*

нам

(/а — Са),

+

+

^ а

1

+

+

+

+

4 V j ^ U

^

^ I

Cl _j Cl _I - J - CljClj

@f@f) ===z

f

=

z k % \ K ( f )

I2 (afaf -

afaf) < - ~ ^ \ K

a (f) I2,

f

f

отсюда

следует

af(Ja — Ca)(Ja — Ca) a , <

<a?(/a

Ca)(Ja — Ca)af +

]У]| K(f) f —

f

= (Уа —Ca) afaf (Уа —Ca) +

^ | Aa (/) |2<

f

^ (A* —Ca) (Уа —Ca) + -^T

I

(/) I2

Таким

образом,

f

R f ' R f ' ^

^ ^(/)1 2

1

|(y„

Ca) (/a —ca) + ~2ут2

7*(/)1

<

P (/) j S

1G« K7a -

Ca) ('a ~ 4 ) +

M 2

2V

l

a

Поэтому, учитывая (1.25) и (1.27), получим

RfRf ^ 2 P (/)|>]|Ga|(ya-

Ca) (/„ - CJ + ■$- j .

(1.28)

Совершенно

аналогично получим также

R f R f < 2 Р

(f) j £ \ Ga |(Уа -

Са) ( I - Са) +

j .

(1.29)

Отсюда, на основании условия (1), видим,

в

част*

ности, что

<ад>г <2Р м { + ж }<2М>{ + ж }•

<ЗД>г <

2Р (f){ в, +

} < 2М,{ е, +

}.

(Pf, •••

Pfs#f#fPfs •••

Pf,)r >

(Pf,

•••

Pfstff#fPfs ••• Pf,)r »

в которых

(1.31)

+

Pf. =

a f/

или

a,fr

Благодаря

(1.28), (1.29)

эта

задача

сводится

к задаче

о получении оценок для

+

+

+

Da — (Pf, • ■• Pfs (Уа

*

Ca) (Ja

Ca) (3fs

. . . Pf,)^.

Будем

последовательно

передвигать

оператор

(Ja — Ca)

влево.

Найдем

D a — ((Уа

Са) Pf, • • •

Pfs {Ja

Са) Pf5

• • • Pf,)r +

+

2

( B j {Ja

a)

Pf •

• ‘ Pfi)r ’

(1.32)

С

/'=14

S

где оператор B f получается,

если

в произведении

Pf, • •

• Рfs

(1.33)

оператор рf

заменен

на

PfjJa

Jafifj'

(1.34)

(3/у =

ctf.

и

pf/ =

щг

Имеем

+ +

cv/a —

. =

2V S

(/) {af.afa-

a^a-fa»

~ W

S

{[a f/af +

a ?af/] a ~ f~ ~ a f [ a t j a - f + «-?%■]}•

f

(1.35)

Но ввиду (1.18)

+

+

*

+

+

*

(if —

и (f ) a f — у (/) a _ f,

a _ f = и

(f) a _ f +

у (/) a f.

afjJa — Лхaf/ =

ЛП(М

+

— j r -

и (fi) a - fj,

а также

«f/a — M f;. =

------ ^

У(ft) aff.

Имеем, следовательно, оценку нормы выражения

| Pfy-M

I ^

1ММ1

V

Поскольку нормы всех операторов

не больше единицы,

(BfB,)г <

1М М Р

F2

Воспользуемся .сейчас общим неравенством

|( Ш ) Г| < ] /

(®»>г <та>г

(1.36)