Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Таким образом, функции (/), стоящие в правых частях (1.9), в которых положено

v = О, С = С(0),

и будут представлять соответствующие квазисредние

для бинарных выражений указанного выше типа. Для их доказательства нам пришлось предварительно пока­ зать, что

{ ( J - C ( V , v ) ) ( J - C( V, v)))v -> 0 при К— оо, (1.10)

и затем установить предельные соотношения (1.9а). Следует подчеркнуть, что вопрос об исследовании си­ туации с более сложными средними не решался в цити­ рованных работах.

К тому же доказательство свойств (1.10), (1.7) было построено на специфических особенностях гамильто­ ниана (1.1) и не поддавалось распространению на мо­ дельные гамильтонианы более общего вида.

В нашей работе [36] был построен новый метод, поз­ воляющий распространять вышеупоминавшиеся резуль­ таты на случай многовременных средних, составленных из ферми-амплитуд или полевых функций и притом для модельных гамильтонианов более сложной структуры.

Если бы мы пожелали приложить этот метод к ис­

34

Однако мы не будем сейчас заниматься только таким гамильтонианом.

Как будет показано в следующих главах, при гораздо более широких условиях, модельные гамильтонианы с выбранными надлежащим образом членами с источ­ никами можно также привести к форме подобной (1.11).

Мы приступим сейчас к рассмотрению ситуации, когда

f

Здесь суммирование no (f) идет по уже упоминавше­ муся «квазидискретному» множеству, которое будем называть множеством Фу.

Эту модельную систему будем рассматривать при следующих условиях, которые будем называть усло­ виями 1.

2а Ю Л М / ) \2=P( f ) *)

сходится равномерно в Ф и представляемая им функ­ ция P(f) удовлетворяет неравенствам

P ( f)< Afj = const, у- ^ P ( f ) ^ M 2 = const.

*) a — принимает целые значения (неограниченное суммирова­ ние по а).

причем

ev —.>0 при F->oo.

4. Функция Q(f) и постоянные Са удовлетворяют

При наличии этих условий докажем ряд теорем об асимп­ тотической близости средних, взятых соответственно по гамильтонианам Г и Га.

В следующих главах мы будем приводить исследуе­ мые модельные гамильтонианы к виду (1,14), (1.15) и, как только мы установим справедливость условий (1), мы тем самым сможем воспользоваться теоремами,

кдоказательству которых сейчас и приступим.

§2. Уравнения движения и вспомогательные операторные неравенства

Прежде всего обратимся к уравнениям движения для модельного гамильтониана Г. Имеем

da

а}Г — Га

dt

Т (f)af — Q (/) a_f - Y i GaK ( f ) a - {(Ja - C a). (1.16)

*) Это последнее условие не является, по существу, ограни чительным. Всякая сумма вида

антисимметричной по отношению к отражению / -> — /.

36

Производя сопряжение и заменив f-> — найдем также

+

i % f = - Т (/) a . f- Q (f) af—V Gai a(/) (/„ - Ca) af. (1.17)

a

Как видно, два первых члена в правых частях этих уравнений происходят от так называемого аппроксими­ рующего гамильтониана Га. Но этот гамильтониан можно диагонализовать посредством канонического и — ^-преобразования

E ( f ) = V T 2(f) + \Q(f) I2.

В результате этот гамильтониан приводится к виду

2 Е (/) afaf + const.

Отсюда, учитывая уравнения (1.16), (1.17), будем иметь

37

'a

№ = I i G aK( f ) af (Ja- C a).

a

Поскольку нашей целью является сравнение различных величин для гамильтонианов Г и Га, нам естественно

надо будет как-то оценить асимптотическую малость

+

«поправочных членов» Rf, Rf, для чего придется прежде

всего установить ряд операторных неравенств. Покажем, в частности, что

38