Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

44

-

регулярность

г р .к .

£ G

, когда

G

конечная группа.

Пусть

—

-

конечнопорожденный левый идеал

г р .к .

К С

.

Тогда

К -модуль

У

порождается элементами

{«рцД cj,е С ^ и

по лемме

58

г р .к .

K G

как

К-модуль разлагается

в прямую сумму:

K G = y ® W

. Если мы покажем,

что

К-модуль N

можно подобрать

так,

чтобы он

был левда

идеалом

г р .к .

K G , то

и

У

порождается

идемпотентом

е.4

,

а

отсюда следует регулярность кольца

Каждый элемент

допускает

представление

.

Тогда

отображение

является

К -линей~

н ш ,

а

для

каждого

tye.G

отображение

Т^: х - *

jo a -

автоморфизм

ад­

дитивной группы

г р .к .

KG .

Так

как

порядок

гь

группы

G

обратим

в

К

,

то

S . i - S

T

^

r r -

есть

К -линейное

отображение

K G

KG

jtG

?

”

. Да­

В

,

причем

S(R G )- У

и

для

каждого

3

лее,

7^-1 STil.

T

q

t

f

Y

T

f l

- S '

в

силу

того,

что

<j$

пробе­

гает

всю группу

G при фиксированном

7L

. Из предыдущего соотноше­

ния следует, что

S>

и

5Г

коммутируют

с

.

Следовательно,

в

прямом разложении:

K G = STCJCG) ® ( Ь * ) Ш ? ) » 3 e ( i - S X B G ) М о ­

дуль Q - W G )

является левым идеалом.

В

§10 .

БИРЕГУЛЯРНЫЕ ГРУППОВЫЕ Ю Д Ш

Кольцо называется бирегулярным, еоли каждый его главный двусто­

ронний

идеал порождается центральным идемпотентом.

ТЕОРЕМА 40. (Бовди % Миховски,

I

)

Г р .к . JCG

над коммутатив­

ным

кольцом Ю

тогда

и только тогда бирегулярно, если кольцо

К

би­

регулярно,

группа

G

локально

нормальна

и порядок каждого элемента

из

G

обратим

в

К .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение

•« 9

4CGXj,

является

го­

моморфизмом г р .к ,

КС

на

кольцо

К

. Если г р .к .

KG

- бирегуляр­

но,

то

для

каждого

главный

двусторонний идеал

K G ( i - f) K G

-

45

-

порождается идемпотентом е

и

не

совпадает с KG

,

так

как он

при­

надлежит ядру

гомоморфизма

X

. Поэтому

Х (ь) = 0

и

C tb tK G )

. По теореме

27

-

конечная

нормальная

подгруппа

и х

можно

записать

Н У

' . x i «i

,

где

,

в виде: x « T

t .4

x i eKM к

v t t

П (G/ h) .

Тогда

1 -j sa5I!Ce-3C-t)'®'v

. Отсюда

t^e.14

,

так как в

противном случае

i = e x *

, что

невозможно ввиду

равенства

Из равенства j-j,= e - x

следует,

что (Д-е)(1-ср) - О

, а

отсюда,

в

силу

предложения

2, i-e .= (l+ f+ —+cjt l )yL

f

где

£,

_

порядок

.

Тогда 1“ £ (1 -е } = Х С 4 -1

.

Следовательно, порядок

обратим

в

К

и кольцо Ю бирегулярно,

как

гомоморфный образ г р .к .

к?с .

G - локально нормальна и порядок каждого

Пусть

элемента

из

G обратим в

бирегулярном

кольце 1C .

По предположению

Ю

-

ком.

вательно,

кольцо

К регулярно и по

теореме 39

г р .к , #G

регулярно.

Для

каждого

xeKJG Supf> эс.

содержится

в

коненной

нормальной

подгруппе

группы

G . Поэтому орбита элемента

х

относительно груп­

пы внутренних автоморфизмов

группы G

содержит только конечное

чис­

ло

элементов

... , x v

. Тогда

K G x K G -K G x 1+.--*-KG3c.^

,

и по лемме 37 идеал

KGx,HG

порождается как левый идеал

идемпо-

тенгом

е. .

‘

Покажем, что

е

центральный идемпотент.

Действительно,, посколь­

ку

1CG& идеал,

то

e,R& — K G e.

. Согласно лемме 37 для

a t K G e .

идеал

yJCG+ e.}CG

порождается

идемпотентом

у

. Тогда

JtK G e. и

= /

.Д а л ее ,

t K G ^ j K G

, огхуда

J e

- e

.Следовательно,

ж e-K £ = IC G e

, что

доказывает

центральность элемента

Ь .Щ

§11.

СЛЕИ ИДЕАЛА

Пересечение идеала

У

г р .к .

K G

с

подкольцом ЮН

называет­

ся

следом идеала Щ на подкольцо

КИ .

Изучение

следа идеала

представляет самостоятельный

интерес и применяется

при исследовании

ряда

свойств

г р .к .

Изложенные

ниже

результаты

принадлежат

А .Залес­

скому [а] .

у

Н

Ограниченные автоморфизмы.

Пусть

-

автоморфизм

группы

и

H

M

i t H

! * ( « « * }

. Тогда

называется

ограниченным автомор­

физмом,

если

< о*> .

Ввиду теоремы Пуанкаре

о

подгруппах ко­

нечного

индекса,

множество всех

ограниченных

автоморфизмов

сЛгШ)

группы

Н

является

группой. Очевидно,

что

подгруппа W

из с М Н ) .

оставлявшая

инвариантной нормальную подгруппу

Н*

группы

Н

, ин­

дуцирует

группу

ограниченных

автоморфизмов

на

группах

Nt

и

.

ЛММА 41. Пусть

И

-

абелева

группа

и

б

-

неединичная разре­

шимая подгруппа

группы оТг(Н) . Тогда для любого

tj,£

<&(И)

под­

множество

является конечной подгруппой и И

об­

ладает

неединичной

конечной

G -инвариантной

подгруппой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение

Т£(&) = ^ (£)&'*

есть

гомоморфизм абе­

левой группы

Н

в себя, ядро которого совпадает с

и

•

Тогда

S f

-

конечная

подгруппа

группы

Н

,

так

как

ф

ограничен­

ный автоморфизм.

Поэтому группа

U

содержит

элемент

конечного

по­

рядка и существует такое простое число

^

,

что

подгруппа

Jlj,

,

состоящая из всех элементов порядка

f>

,

отлична от

единицы.

Группу

Hj,

нам

удобно

трактовать как векторное пространство над полем

Ю

из

f>

элементов

и в дальнейшем мы будем применять аддитивную запись.

Тогда

является

JSG «модулем,

так

как она

6

-инвариантна.

Проверим методом индукции по классу разрешмости группы G

на­

личие в

Н/,

ненулевого

конечного

6 -модуля.

При этом можно предпо­

лагать,

что

Нр

не содержит таких подмодулей, элементы которых

не­

подвижны относительно

группы

G ,

ибо в

противном

случае

утверждение

очевидно. Поэтому для

некоторого

<jf.cG

подгруппа

{ * < в - м

4l с Ц,}- ф о .

G абелева,

Очевидно,

если

то выполняется

равенство

и

является

конечным

G «модулем.

Пусть

G '

-

коммутант

неабелевой группы. G .

Если

о + V

*

I

= &

для

всех

,

то

V

конечный

G

-модуль,

ибо

для

<^fcG

-ч* )* $ $ (&

- 47

-

^

. В случае,

когда V

-

О

, группа

(?'

действу­

ет без неподвижных элементов на Uf,

и , в силу индуктивного предполо­

жения, существует конечный неприводимый

G*модуль

id .

Пусть

G

состоит из всех таких элементов

»

что

(? '.модули М

и

jA i

изоморфны.

Тогда

<iM

- вполне

приводим и является

прямой

суммой

Пусть

-

G'-изоморфизм

и M * V ^ x ^- x ^ x

t ^

J" ,

где

X е С ' . Тогда

5 ^

» {*№ )-$. | £

£

^

Отсюда, в силу конечности

S r

*

модуль

L

содержит

только

конечное

число прямых слагаемых и является конечна*.

Группа

G

действует

как группа

подстановок на множестве

X *

I ^ £ ГКр/G*)

»

а

ее

подгруппа

G*

действует

тождествен­

но на

X

и

G * s G ‘

. Тогда

для любых

и

* t X

$.«|.'(ас) =

= ^ ( с с )

и

f(^L)< = t^!L + S j,

• в силу

конечности

элемент

смещает

только

конечное

число

символов из

X

• Следовательно,

множество

{ a a 'L

| а е. С ^

-

конечно

и T~l g a L

- конечный

С -мо­

дуль.

■

'

С

Пусть Н

-

подгруппа

группы

.

Положим

Очевидно,

что при

С * Н

подгруппа

Sb(,(G )-A (G )

Пусть A °(G )=A (G )

и для

каждого

порядкового

числа

X

опре­

делим

индуктивно

группу А (б )

.

Если

X

-

непредельное, то

Д Ч е )

является полным

прообразом

группы

при естественном

гомоморфизме

С - *

,

а

Для

предельных

X

- A*(G)«U

Тогда

подгруппа

E(G)x U A \G )

называется

А -радикалом

группы

Сг .

ЛЕША 42. Если ненулевой идеал

У

г р .к .

KE(G)

инвариантен

относительно

внутренних автоморфизмов

группы

G

, то

У П В Д » * о .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

Д*=Д*(6)

,

^

- идеал г р .к .

ЮДХ

и

. Предположим, что для всех

каж­

дый идеал

У

г р .к .

К/Дл

со

свойством

[б *6(У )]

<

имеет

ненуле-

-

48

-

вой

след

н а -тр .к .

К Ь

и

существует

такой идеал

У

г р .к .

КДЛ'

,

что

К Д П У = о

И ГС*С(Ю]

■С оо

,

Тогда jt>

непредельное

поряд­

ковое

число

и

элемент

« еУ

допускает

запись:

4

^

,

где

J k * K h M

и

-

представители

смежных классов

группы

по

подгруппе

А*’1 .

Покажем,

что

среди

ъ

,

обладающих

свойством

JLf+O

и

£

-

наименьшее,

существует такое,

что

Л.АьКЬ. .

Выберем

так,

что

ХйФО

и

£

-

наименьшее.

По определению

А* подгруппа

S -

конечного

индекса в

С .

Тогда множество всех

ненулевых

элементов

вида

Т " 1.

из

У

,

где

о с ^ с К Д * " *

и

Sc e

£» П G ( y ) .

име­

ют

запись

такой

же формы как

't

,

Очевидно,

что

элементы

5Г-.

c: .vt 4

y

: <’•/'

И

нуль

образуют

идеал

У,

г р .к .

1С£?1 и

в

силу включения

S n G ( S I ) c e ( ! U

. По индуктив­

ному предположению

& 0 К Д + О

«

v

можно выбрать

так,

что

0 * 4 G КД •

.

’

, 'С

? Г л / о - \

'

под­

Пусть

S u t y l^

{ £ „ £ „ » .£ * ) ■

* П С в ( * 0

. Тогда

группа

P*SnCnG(W

имеет конечный индекс

в

(г

,

каждый

& еР

перестановочен

с

<ft

и

-

£

У

■Заражение в

квадратных

скобках

принадлежит г р .к .

КД*’1

и равно

нулю. Действительно,

если

элемент

(

£ т £ - т ) д £ 4

о

*

то его

длина

по

mod КA?1 j1 меньше

чем

£

,

а

это

невозможно.

По­

этому

ж

£

1 М55

ВСех

^ 6

Р .

Отсюда

Su.pl> 4

^ i

ж

-Л 'Ч Su[>f>£ifi)&

и» учитывая

конечность

индекса

подгруппы

Р

,

за­

ключаем,

что

каждый

элемент

из

S u jfJ iq t

обладает

конечным

числом

сопряженных.

Следовательно,

”к «=К А ,

что

противоречит

предположению

У П К А - 0

• .

Я

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

43.

Если

Н < 6

и

Н - Е ( Н ) ,

то

каждый

ненулевой

идеал

У

г р .к .

№

имеет

ненулевой

след

на г р .и .

* 3 % ( Ш .

ДШСАЬАТЕЛЬСТВО. Пусть

тг= 4

+ XL X t f

{ (о * 1^К У ,

П(%)

-