Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

а д -

предыдущий случай) и по лемме

33

Vj,

изоморфеи как

ОД-модуль не­

которому минимальному левому идеалу У

г р .к .

К Щ

. Значит, сущест­

вует такой

элемент

,

что Ум-фО

и

Угг V i

,

00

, то V

Если

V = U V,

-

неприводимый

КС- -модуль. Каждый

X t K G

принадлежит

некоторой

г р .а .

КН{

,

причем

кольцо

KHi

дей-

атвует точно на V i^

. Поэтому

XVi-u*0 , а

отсюда

£ V * 0

и модуль

ность г р .к .

16G

не

всегда

зависит

от

примитивности

К

,

как

показы­

вает

G -

ТЕОРЕМА 36 . (Форманек, [I]) Пусть

свободное

произведение

не­

тривиальных

групп

А

и

В

,

причем

хотя бы одна

из

них

не является

группой порядка 2 . Если мощность коммутативного кольца JC

без делите­

лей

нуля

не

превосходит мощность группы

Gr

* *о г р .к .

К&

примитив­

но.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А » А Ч

,E « b v j

и |А|

-

мощнооть множес­

тва

А

. Согласно определению свободного произведения

групп А

и 6

каждый

элемент «^eG*\i

единственным

способом записывается

в

виде

9 яМ

§

где

A it А

или

В

,

а

любые два соседние

элемента

&i

и 'A in

( i - A

, . . . , s-i)

лежат в

разных

подмножествах

А

и В

.

Это -

несократимая

запись

элемента

у. и

&

называется

его

длиной.

Если

А

и

A j t f i

,

то элемент ц,

будем

называть

элементом

типаСА.В).

Аналогично определяются элементы типа (А,А)

, (Б ,В ) ,

(Ь ,А ) .

Пусть А

или В

-

бесконечная

группа.

Тогда можно предполагать,

что 1АЫ В/

и ввиду условия Щ Ш

можно задать взаимно

однознач­

ное

соответствие

V

между А

и й ( ? \0

. Пусть <^(а)

-

элемент

группы

G

максимальной длины из

SuppVia)

, а

4

-

фиксированный

-£ <f,(c )o + 4 '(ci)al +1

,

если с^(сь)

типа (А,В) или <^(a)’* i ;

'B f / ( o ) £ a + 'f /( a ) £ o £ + i

,

еоли ^ ( а )

типа (А ,А ) ;

^ ( c O A a i U e f f a ^ a + i

,

если

^ ( a )

типа

( В ,А ) ;

4'(ct)tt&+ ct Vla)tt+ 4

,

если

i^.(a)

типа

(В ,В ) .

-

41 -

Если

x t K C

и элементы из

Suj>px~f(a)

представлены в

несо­

кратимой записи,

то

элементы максимальной длины из

Sup}>x'f(a)

за­

канчиваются

на а

или

а{> .

Поэтому для

различных

о 4, . . . , а к С Л

равенство

I жэс< ^ ( а 4)+... ** x.Kf(a K)

невозможно,

так

как

при W

элементы максимальной длины из S u f

> f

> и £uj>|> 3Cj.~f(«f)

различны, Тогда левый идеал М

,

порожденный

•ffa)

,

где

a

-

про­

извольный

элемент из

i

, не

совпадает о

KG .

Пусть

О+У

-

идеал гр.к.

КС

и

осе У

. Тогдаоущеотвует

такой a

,

что ^ (a )« x

и

-f(a)

можно представить в виде

'4 (а )-% 1П а )* 1 +

*вУ (а)«* + 1

( * i t £ G )

Отсюда У+М»К6

и

Кб - примитивно.

"Иуоть

А

и &

~ конечны. Тогда

согласно условию теоремы можао

предполагать,

что

и

/Б[

>2.

. Йафиксируем элементы

a e i

,

-fi,e е Е (С+с)

. Тогда гр.к.

КС

является

бесконечным счетнш мно­

жеством и

- все

ненулевые

элементы

KG » а

~

элемент максимальной

длины из

Supf>"Zn .

Обозначим

через*!я

:

' i ’ba c (a i)+ x Ma t(ofc)a-bi

,

если <^(а)

-

типа (А,в) или у ( a)* i

j

4 г„ с (а£)л+Тп с (a t)1a

+1

,

если

- типа (к,А);

'**£ (ак)Ла+атлС(а1)% i

,

если

<j(o)

-

типа (Ь,А);

Ч.пвс(а1)'а + аЪлас{лЬ)%1

,

если у.{а)

«

типа (6 ,ft) .

Тогда элементы максимальной длины из

5uf>f> x~fn ( x t K G )

закан­

чиваются на

С(«*.£)*

или

на

c(ai)"a

и,

как в предыдущем случае,

левый идеал

М

,

порожденный -Д (л=Л,1,.« )

,

не совпадает с

КС

и M+J/=KG

Для любого ненулевого идеала

У

гр .к .

КС

. Следо­

вательно,

КС

-

примитивно.

■

Доказанные теоремы показывают, что гр .а. неабелевой свободной

группы всегда является примитивной и каждую гр.а.

КС

можно вложить

в примитивную гр .а. К(Я*С), где

H *G

-

свободные произведения бес­

конечной циклической группы

Н

и группы

G .

Известно,

что коммутативное

примитивное кольцо является полем.

КИ абелевой

-

42 -

Поэтому г р .а .

группы

Я

не является примитивной, в

если

G -

конечное

расширение

Я ,

то

согласво теореме А.Розенбер-

r a [i]

г р .а .

JCG также

не

првмнтивва.

Следовательно,

если

G сво­

бодное произведение двух циклических групп 2-го порядка, то

№ -

не

примитивная алгебра.

G -

MG)*l

Отметим,

что если

полициклическая

группа

и

,

то

по теореме

Оасомана

[5]

г р .а . К О -при м итивна, если

степень тран­

це ндентности поля

К

ве менее ранга

группы

G .

Если

К -

поле

без

трансцендентных элементов, то по теореме

Роуэбиата

ВД

и Ф.Холла каж­

дые неприводимый

£ 0 «модуль является конечномерным,

что влечет за

собой

вепримитивность г р .а .

JCG- .

§9.

РЕГУЛЯРНЫЕ ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

ОПРЕЛЕДЕНИЕ.

Кольцо

f t

о единицей

называется

регулярный,

если

уравнение

а х а - о .

разрешимо в

Л для любого

c t t

ft .

Очевидно,

что

условие регулярности

кольца

эквивалентно

условию,

ствительно,

из равенства

а ^ а « ц

следует, что

е » ^ а = е*

и

Лчш

- f t e

. Обратно, из

равенства

Ла~Ае

следует,

что

в - = ^ а

и

а е =а .£ а

. Тогда

< х = а е = а £ а

и кольцо

f t

-

регулярно.

ДОМА 37 .(Дж Нейман)

Каждый конечнопорожденный левый идеал ре­

гулярного кольца являетоя главным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Очевидно,

что

утверждение

достаточно

проверить,

когда

.

Пусть

Я а

порождается идемпотентом

e t

,

а

f t £ 0 - O

- идемпотентом

ftt

.

Тогда

иэ

равенства

^ “ ftfej+ftfcCi-O

следует, что

е1е 1« 0

и

е ^ е ^ + е ^ -

- идемпотент, который .’по­

рождает левый идеал

М -

ДЗША 36 . Пусть

свободный модуль о базисом

над регулярным кольцом f t

. Тогда любой коиечнопорожденвый подмодуль

N модуля М выделяется

пряма!

слагаемым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пои

n*i

утверждение леммы являетоя

следствием

предыдущей леммы.

Пуоть

X t *CEI Л

ц

-

образующие

элементы под-

модули

М

■

“

т-

f t £ u

порождается

идемпотентом

JV

. Тогда левый идеал X

Г 1

'

Пусть М 'ш5 0 В д с и

ftl* . Тогда ^ « ^ £ [ £ * 1 -

Eoav

L •‘&U -&)ffi ® L

, to

M=L®M

.Действительно,

если

осе £.+А?

.Пусть

•~+<£n.^ll £

LflN

.Тогда

« 4 0 ^ ) 4

. Отсюда X t=0

и

L f l N - 0

,

Следовательно,

A f - L

e # .

■

Ауслевдеру, Вильямайеру и Конвелу принадлежит следующая харак­

теризация регулярных

г р .к .

ТЕОРЕМА 39 . Г р .к ,

К С

тогда и только тогда регулярно, воли

группа

G

локально

конечна,

кольцо К

регулярно я

порядок каждого

алемента

из

группы

G

обратим в

кольце

К .

ДОКАЗАТСТЬОТВО. Пусть г р .к .

KG

регулярно

и

Н

-

подгруппа

группы

G

, порожденная

элементами

. Тогда в силу тож­

дества

a e ^ -l*

левый идеал

УДН) порож­

дается

элементами

“k i^

,

а

по лемме

Неймана

^ ( Н )

порождается идемпотентом

е

. Поэтому i - e

принадлежит

правому ан-

нулятору

HfCli)

и по

предложению 2 подгруппа

И хонечна.

Пусть

Н = <А>

-

циклическая

подгруппа

порядка

п,

.

Тогда из

равенства

( c tc K G )

следует,

что

i - a ( i - K )

принадлежит правому

аннулятору Jj^OO

и по

предложению 2

i - a ( i - A ) =

~Ц +6.+ ...+ § Г ) *

( * * К С ) .

Применив

к

предыдущему равенству

гомоморфизм

JC

гр .к .

К С

получим

п-ХС31) .

Следовательно,

^

-

обрвтим в

К

и

кольцо К

регулярно,

как гомоморфный образ K G

,

Для доказательства

обратного

утверждения

достаточно

проверить