Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

49

-

такой

элемент из J/

,

что

i

-

наименьшее. Если

(<£*)

-

идеал г р .к .

W

,

порожденный

f a

,

то

по лемме

42 существует

iml

I

«.

( А )

П Ш Ю .

Тогда

‘K“ ^

3Ct '* y i = A‘+ !<Ejf a f i

(

/Ч « К Н

)

такой

элемент из

У

,

что

£

-

наименьшее

и

fa ziC L

.

Поэтому при

t

“ i

утверж­

дение

доказано и рассмотрим случай,

когда

t >

i .

Пуоть

С -

централизатор

элементов

из

S

fa

в

G

.

Тог­

да

для всех

&

из

С

»

в

силу выбора

'К1

,

элемент

~

fa h ik y .ifc - fi) -

Р>%~]

=

О

.

причем выражение в

квад­

ратных

скобках

принадлежит г р .к .

КЦ

. Отсюда

для всех

С,

к

Ь

и для

каждого и- с

S ujtftfa fli

элемент

fC u k

«

£

S w

^ ^ .

.

Следовательно,

[H*Cfl(u)]<' оо

и

KS&e CH) .

так как

[Н *С ]<<х>

.

■

G

TE0PEMAJ44,

Каждая разрешимая

группа

содержит

такую нормаль­

ную подгруппу

Т

,

что £(Т)»Т

и

(Т) S? Т .

След каждого

нену­

левого идеала гр.к-.

на

г р .к .

K & (j)

не равен нулю.

ДОКАЭАТЕЛЬСТВО.

Пусть .f*(G)

-

последний отличный от единида

член ряда коммутантов

группы

G

.

Определим-индуктивно

последователь-

ноств подгрупп

Т (1>

так:

Т Ш~ вЧС)

,

а. для

T

^ T

t0H i >

где

H i

» прообраз в

С(Т 10)

группы

.

Тогда

последовательность

{ т ш}

стабилизируется

на

некотором

номере

fit

,

не

превышающем длины ряда

коммутантов группы

G .

Если

Т -

» T (W). TO T4G

и

S6c(T )sT .

Очевидно,

Е (Т(Л) = Г"

и предположим,

что

£ (Т <1)) * Т <У

Каждый элемент из

S6g(TW) индуцирует ограниченный

автоморфизм

нормальной подгруппы

7 * ^

. Ото соответствие

задает

действие

разрешимой группы

§0g(Tw)

на

группе

. Если к фак­

торам ряда коммутантов

группы

T (v)

применить лемму 41,

то получим

в

T W

возрастающий

нормальный ряд

T ^ s T ^ e . . ;

со

следующими

-

5 0 -

свойствами:

является

96fi(T w)-Hнвариантной и

ли-

бо конечна, либо все ее элементы

неподвижны относительно

группы

St)r

( Т ы ) ,

Тогда

Т СЧ)= U Дг ( т № )

в

силу

условия

E (T l'° ) * T W).

Если Э&у- нормальная

подгруппа

группы

,

порожденная

Л т ^ Т ^ Л А ^ Г » ) )

. то Я ]. 4 Г ' *

и

С

А

( ^

/т * * ).

Поэтому

Г

Ъ Е (Т < ~ > )

и в

силу

коммутативности

/ Т

^

имеем,

что

E ( T lv,1>)

" Т * '* 15

•

Следо­

вательно, £ ( Т ) - Т

и

^

С( Т ) = Г

.

Тогда

<=6С(Т ) = А ( Т )

и по

предложению 43 след каждого идеала

У

г р .к .

KG

не

нуль

на г р .к .

К А (Т ) .

■

§12.

ДЕЛИТЕЛИ НУЛЯ И КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ

С групповыми кольцами тесно связан более'общий обьект

-

скре­

щенное произведение

группы и

кольца. Оказывается, что многие

свойства

г р .к .

остаются

справедливыми

для скрещенных произведений, а

окрещен­

ные

произведения полезны в задачах, относящихся

к г р .к .

Пусть

G

-

произвольная

группа, а

К -

ассоциативное

кольцо с

единицей. Предположим, что задано однозначное

отображение

S '

группы

G

в

группу

автоморфизмов

кольца

К

и

семейство

обратимых

элементов

кольца

Ю

,

причем

удовлетворяются

соотношения:

Р

<?

.

Р

Р ?1<Г

•

r f (}a^ ra

ГП

дня

всех

и

e- d

. Семейство

§

называется

системой

факторов.

i j,

Поставим

в

соответствие

каждому

элементу

символ

и

рассмотрим

множество V

всевозможных сумм вида jtG

Г

?

,

в

каждой

из которых лишь конечное число коэффициентов

отлично

от

нуля,.

Равенство

2 3

LX*. = X

L /S .

*

имеет место тогда и только

тогда.

« с

*

*

когда

для

всех

tj.eG

. Множество \ J превращается в ассо­

циативное кольцо, если операции сложения и умножения определены

следующим образом:

j t c

» »

ty-fij.

= 2 3 t .

r

(.X-f* f t f )

j< 6

'

*

g ta

«

•

закона дистрибутивности,

Это кольцо называется скрещенным произведе­

нием

группы

G

и кольца

К

при

системе факторов «g и отображении

6Г

и обозначается через

Если

6^

отображает

группу

G на единичный автоморфизм кольца

1C

, то

скрещенное произведение

(£ > ^,< £ ,6 -)

называется окрещенным

групповым кольцом и его будем обозначать через

( б , К , § ) . Кроме то­

го,

если

система

факторов

§

единична, т .е .

для всех

Из соотношений ( I )

следует, что

(С»

и

а . г

При помощи этих равенств легко проверить, что

t i $ /tl

есть единич­

ный элемент

кольца ( в л ? , г )

И

При изучении

свойств

г р .к ., в

частности.,

наличии

делителей

ну­

ля, оказывается полезна*

следуш ее

замечание.

ЛЕША 45.

Если

,

то г р .к . К б

изоморфно скрещенному

произведению

г р .к .

т

и фактор группы

С/н

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть группа

G

есть

расширение

своей

нормаль­

ной

подгруппы

И

при помощи фактор-группы

^ /ц ж

. Тогда

G

однозначно

определяется системой

факторов

\а ,* ж % > « = Н

и отображением

&

группы

G/ц

в группу

автоморфизмов группы Н .

Продолжая

6*(а )

до

автоморфизма г р .к .

КН

, мы получим,

что

в" —

отображение в

группу

автоморфизмов

кольца

K>U

и, в оилу овойств

расширений,

£

и

6“

,

удовлетворяет

условиям

( I ) . Поэтому, скре­

щенное произведение

изоморфно г р .к .

JCG .

■

Ниже

обсуждается

предположение Капланского об отсутствии делите­

подчиненная

условию: а.г.%

влечет o f t t y

для всех

, то

группа

G называется правоупорядоченной.

Если кроме того,

влечет

для всех

, то G называется упорядоченной.

ТЕОРЕМА йб. (Бовди, 2

)

Произвольное

скрещенное

произведение

( с д « , < г )

правоупорядоченной

группы G

и

кольца К

без делителей

ные обратимые элементы ( т . е .

элементы вида t^ £ .

, где

^ .e G

*

€

- обратимый

элемент кольца

К

)•

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

ос = £ 1 ^ .< 4

л

&

. Если

,

ТО

—

. Пусть

-

наименьший

элемент

среди

i < « )

, а

-

наи­

больший

среди

.

Тогда

, если

или

( а - ,ч ) ,

и

элементы

и

t#

X ^ tg . A a

в

произведении

не могут

сократиться. Поэтому

Ч

*

И, если

,

то

и

ос =

.

В

правоупорядочены.

Если группа G

СЛЕДСТВИЕ. (Бовди,

I )

обладает

нормальной

системой с абелевыми факторами без кручения,

то

гр.а-.

JC&

не со­

держит делителей нуля,

G

СЛЕДСТВИЕ. (Лихтман, Форманек) Если группа

без кручения

об­

ладает такой абелевой нормальной подгруппой

И ,

фактор-группа

по

которой циклическая,

т о г р . а .

КG без делителей

нуля.

Действительно, как показал Форманек, указанная группа является

правоупорядоченной.

■

А .И.Мальцев выдвинул

предположение о влокимости

г р .а .

правоупо­