Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

если группа G

конечна и

-

35 -

условней минимальности для

кольцо К с

Главных левых идеалов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Ввиду гомоморфизма

‘ЗС’.К' б—

кольцо

К

удовлетворяет условию минимальности для главных левых идеалов. По

лемме 31

^AoefK -

полупростое

кольцо

с

условием минимальности для

левых идеалов и простая компонента

Кц

кольца

K/o o JK

является

полнш матричным кольцом над телом. Краме того,

гр.к.

K

f i ,

как го­

моморфный образ гр.к.

K G

, удовлетворяет условию минимальности для

главных левых идеалов и имеет характеристику нуль или р > О .

Пусть f t i i j

- полная система представителей левых смежных клас­

сов группы

G

по подгруппе

U

.

Тогда левый идеал

Jj

кольца Кд6 ,

порожденный левым идеалом

У=(К,Н)сь

кольца

к дн

,

имеет вид

2J =

< £ (« с 5 Л « ( В Д а

и является главным. Поэтому для любой подгруппы

U группы

О

г р .к .

К М

удовлетворяет

условию минимальности

для

главных левых идеалов.

Если г р .к .

ЛСД

не имеет ненулевых нильпотент-

ных идеалов, то

по лемме 31

его

радикал равен

нулю и

К£Н удовлетво­

но только тогда, когда подгруппа И

конечна. Отсюда, в силу теоремы

20, заключаем, что каждая бесконечная

подгруппа

Н

содержит

конечную

нормальную подгруппу,

порядох которой

делятся на

характеристику

р

кольца

.

Если MG) - бесконечная группа,

то она имеет бесконечную абе­

леву подгруппу. Действительно, иначе

группа

А (б )

содержит макси­

мальную конечную абелеву подгруппу И

,

которая

по лемме Д итдона

принадлежит конечной

нормальной подгруппе

Я

,

Из конечиоотя

группы

автоморфизмов группы

N

оледует, что СМ{Я) -

бесконечная подгруппа

и любой ysC ^Q f) ,

порождает высоте о Я

абелеву подгруппу,

что противоречит максимальности И .

Пусть

А - бесконечная абелева

подгруппа группы

А ( 6 )

.

Так

как каждая

бесконечная подгруппа группы G имеет

конечную нормальную

подгруппу, порядок которой делнтоя на

р

,

то A *S ^ * Н

»

где й -

конечная подгруппа i

^

• силовохая

р -подгруппа группы А

« Тог­

да в

Sj,

существует

бесконечная строго возрастающая

цепочка подгрупп

A i ^

c . .

и идеал H(Sh)

г р .к .

являетоя ниль-идеалом. Действи­

тельно, для каждой конечной подгруппы

В

группы

,

но предложе­

нию 5, фундаментальный идеал кольца KtA -

нильпотентен.

Поэтому

- 3 6 -

и если <^еА иЛ A i

*

то tfr-ltvajjeji . Тогда для

любого тп.

(у*гО

не нуль,

так

как

An.t

, что про­

тиворечит лемме 31.

Следовательно,

М б ) -

конечная

группа я из пе­

риодичности группы

С имеем,

что

Д (% (б > ) * i .

Тогда

г р .к .

удовлетворяет

условию минимальности

для главных левых идеалов, как

гомоморфный образ г р .к .

К,6

. В силу выше изложенного

б/ Ш - ко­

нечная

группа,

это влечет за

собой конечность группы

С .

Проверка обратного утверждения осуществляется по схеме доказа­

тельства теоремы 30.

■

58.

ПРШИТИВНЫЕ ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

Извеотно, что следующие условия

для кольца

К

эквивалентны:

1)

1C

обладает точна* лева* неприводима* модулем;

2)

существует такой собственный левый идеал

У

, что iJ+МШК

для каждого

ненулевого

двустороннего

идеала

Н кольца

К .

Кольцо,

удовлетворяющее одному

из этих

условий,

называется (л е ­

на*.

ЛЕША 33. Пусть

G -

конечная группа я

V

- неприводимый

,

КС

«модуль.

Тогда г р .а .

KG

обладает минимальна* идеалом У

КС-изоморфным V .

М -

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

такой максимальный левый идеал,

что

. Тогда A f^ = £ x c K (r К » у х « о

для

каждого

яв­

ляется правым аннулятороы

*t(M)

левого идеала М . Действительно;

если

х е А / -1

,

усМ

и yx*K 7yt+ ...+

,

то Д - t c

*

* k ( £ y ) x « 0

,

так как tfiyeM

. Отсюда

, а обратное

включение очевидно.

Ес“ *~ 3 ? Ж т •

" k ^ jF e V # *

-

37 -

еоть М . Следовательно, KGх

-

минимальный левый

идеал я

(K 6 )x * V .

■

К -

F

ТЕОРЕМА ЗЧ.СПаоеман.

5)

Пусть

подполе поля

и г р .а .

Кб

-

примитивна.

Если

MG)*l

или

F

«

алгебраическое

расширение

поля

К

, то г р .а .

FC

такие

примитивна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Примитивная алгебра

KG

обладает

таким макои-

мальнш

идеалом м ,

что

•* /«

-

точный

К в -модуль.

Так как

ба­

зис

F

над

К

является

базисом

Кб «модуля

FG ,

то пересечение

максимального левого

идеала

К

г р .а .

F 6

,

содержащей левый идеал

F G M

,

с

г р .к .

КС

совпадает

с

М

. Поэтому,

если

x F O s N

ДЛЯ

некоторого

Л С КС ,

то

x JS G C sN n & G 'M

и,

ввиду

точности

К б

-МОДУЛЯ

Следовательно,

К б -модуль

f « / n

яв­

ляв тоя

точным.

FC -модуль

Докажем,

что

неприводимый

%

является

точным.

Аинулятор такого

модуля является

примитивным идеалом

и

У П К б * 0 ,

так

как

Кв-модуль

F6/ jj

точный.

Если О* fe. У

,

то существует

такие

О Ф х ^ сК б

и

К«аинейно

независимые элементы

/* > • • • > ,/*

из

F

,

что

1f“ X i/d + ’“ + **/*

. Из условия

У П К б * 0

вытекает,

что

s > 2

,

и теперь на выбор

Jf

наложим ограничения:

J е £uj>j>

и длина

S

-

наименьшая.

Тогда

длина элемента

меньше

чем

£

и принадлежит

У

, а это возможно, если

х ^ х *

-

для всех

^.еС г

.

Отсюда по лемме

16

в ( * 1 ) ^ * в ( * * ) * 1

(см .

определение

б

на

отр.

20

)

( I )

Предположим,

что

A (6 )» i

. Тогда

6 ( x ) t F

для любого

x e F G

и

©("XjJ+O

,

так

как

Ш Сир эс<

. в силу ( I )

ЭЧЖeCi cCj

ддя неко­

торого

К

и

зс-iб^х/ t + *•*+ J-&fi )

•

Отсюда,

X4^t+ ••• +

/<

ненулевой элемент воля F

и

х^е !/П Кб

,

что возможно,

когда

У*

=

О

.

А(С)*{

то в силу

первичности кольца KG

по теоре­

Если же

,

ме 20

А(б)

-

абелева группа без

кручения. По теореме46

алгебра

FA(G) - бея

делителей нуля,

а поэтому

из

записи

Г

в

виде:

Г =

( ? l * T ] ( G/M G ))),

о ^ ь Ш

б )

следует,

что 0 ( * i) T

нену­

левой элемент

из

У .

Если

©(•х^

,

то из ( I )

6(эс,)Т *!

= х 4 х

и

среди всевозможных

элементов вида

«^эс^-

(

« jeC

)

ком­

мутативной г р .а .

К Д (б ) имеется

только

конечное число различных, а

их произведение

я

является

центральным

элементом

г р .а .

FG

. По

теореме

46

4 * о

и

а ^ Г С х б У

» а в

силу

первичности

идеала

У

это возможно,

когда

х с У

,

так

как

а ^ е У

.

Если

F*

-

наимень­

шее

надполе

над

К

,

содержащее

коэффициенты элемента

X

,

то ввиду

предположения,

что

F

- алгебраическое

расширение

поля

К

,

г р .а .

F'A(G)

-

хонечнепорожденный свободный

КА(б)-ыодуль. Поэтому

Xfe

F & (6 )

является

целым

элементом

над

K A {G ),

а

значит,

удов­

летворяет соотношению

xN-dEn.i X,l"+...+<£,tX+<£o* 0

( А .1* О ,c/^tK Д (б)),

так

как

кольцо

FA(G)

без делителей нуля. Отсюда,

<£.£. K G O y - o ,

ибо

X t

У

,

что ведет к противоречию. Следовательно,

У* О

и

F 6"

примитивна.

■

JCG

Отметим,

что если

г р .а .

-

примитивна и мощность

поля

К

больше мощности

группы

G ,

то

A(G)=1

(ПассманД5) ) .

Паосман [5]

,

Снидер и Форманек

[I]

получили критерий

примитив­

ности

г р .а .

локально

конечных счетных

групп.

Однако неизвестно,

верен

ли он для любых

г р .а .

периодических групп.

ТЕОРЕМА 3 5 .

Г р .а .

КВ-

локально

конечной счетной

группы

G

над

полем

К

тогда

и

только тогда

примитивна,

если

г р .а .

К С -

первична

и не

содержит ненулевого ниль-идеала.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Так как из

примитивности

кольца оледует.его

ние.

- простое подполе поля К

и Л

Пусть К*

ненулевой элемент

из ниль-идеала

У

г р .а .

. Так

как г р .а .

К С

не

имеет нену­

левого ниль-идеала,

то существует такое /& с К б

,

что

/&Х> - нениль-

потеат. Если

<Suft><jC,Su|>f»P> ,

то из

конечномерности г р .а . JCU

следует нильпотентность левого

идеала

(К,Н)<£

,

а

это влечет нильпо­

случаем,

когда

К

-

простое

поле.

Пусть

=

. Построим возрастающую цепочку

конечных

подгрупп

ДО*

и неприводимых

КН*

-модулей

V*.

,

удовлет-

*

Q0

. 4=

ворясщих

условиям:

H t

,

G = ( J H t

v

Ul

и г р .а .

к н ь

действует

точно

на

.

Пусть

Ut *<%i>

и

V*

-

неприводимый

к я 4 -модуль.

Предположим,

что

построены

Щ и

V i .

ы

Пусть характеристика

поля К

не делит

порядок

ни одного

эле­

мента из

группы. С

• По теореме 20

г р .а .

KH.J,

-

полупроста

и J *

= е ! + -"+

е » ,

-

разложение

в

сумму минимальных ортогональных идемпо-

тентов

центра г р .а .

КН *

.

В силу

первичнооти

г р .а .

K G

оФ

Отсюда следует

существование

таких

что

О

.

в

качеотве

H i*

выберем

подгруппу

и ,.* ,£ * .,, *>

.

Тогда

Х бК ДО ы

и г р .а .

KUin разлагается

в

прямую сумму минимальных левых идеалов.

Поэтому

< /У * 0

для

некоторого минимального левого

идеала

У

г р .а .

КН{,<

*

в * У + 0

(

i

»

i

. Действительно,

если

е * У * 0

,

то

/ У

с

t iUi el ... t L!J« 0

,

что невозможно.

Отсюда и

из того,

что

каждый ненулевой идеал

г р .а .

К Н i

содержит хотя

быодин вдемпотент

, следует, что КДО* действует

точно

на

У .

Поэтому

среда

подмодулей

ffli -модуля

У

встречаются вое

неприводимые

К H i

-мо­

дули. Пусть

V{*i

-

такой изоморфный экземпляр

КН{,*«модуля

У

,

который содержит

V* .

Пусть

К

- конечное

поле и

-

вое

ненулевые

эле­

менты гр .к .

JGHi

. Из первичности кольца

КМ

следует,

что

...«C viK M X ч,

,

и снова

существуют

такие

и * ,- - ,

что

J .- £ i UiXi tit

4 ^ * 0 . Тогда

/ 6 /

-

ненильпотент для

неко­

торого /Де&Сг

*

*ак

как г р .а ,

K G

без

пиль-идеала. Если

Н и * "

Н

*

то м я

невнльпотентного

элемента

г р .а .

ICHuj существует

такой

неприводимый КДОх-ы -модуль

, что

/МУш± 0

.

в

силу в ы б о р а /

К Н **

действует

точно на

ViH

(см .