Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

- 58

-

-

бесконечна.

Покажем,

что

Н » G |4l

удовлетворяет условию

леммы.

_

Если

- не циклическая группа, то Ь о

, й / н име­

ет конечный индекс и принадлежит центру группы

C * C g ( Ч

н ) .

Тогда С -

группа без

кручения, и по

теореме

Неймана,

она

абелева.

циклической группы.

По предположению С + б

и B/q можно рассматри­

вать как группу

автоморфизмов

бесконечной циклической группы ®t/H •

Следовательно,

G/н

является

рассширением

бесконечной циклической

ка [з] .

Ш Р Ш _ 5 1 ,

Г р .а . сверхразрешимой группы без кручения

не

имеет

делителей

нуля.

Ш ) -

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

число

бесконечных факторов

инва­

риантного

ряда

сверхразрешимой группы

G с циклическими факторами.

Так как €(& )

-

инвариант группы

G

,

то

для

подгруппы

Н

,

опре­

деленной в

предыдущей лемме,

•£ (& )< £ (G)

,

а

зто дает возможность

доказывать

теорему методом индукции по

-£(<?)

,

предполагая

отоутотвие

делителей

нуля

в

КН .

Если

G/jfj

бесконечная

циклическая

группа,

то г р .х .^ К в

явля­

ется скрещенным

произведением кольца

т

без

делителей

нуля

и бес­

G/ у

• < й,11 а1* 1 , с й а * I А>

,

где а - а . У

и

. Тогда для

C i* < o .,y >

£ (6 ,)< £ (Н ) и

ICGt

кольцо

без

делителей нуля. По теореме 49 г р .а . КН обладает

телом

частных

Q № )

и скрещенное

произведение

индуцирует скрещенное

произведение

. Последнее

-

59

-

является

телом и совпадает

с телом

частите

г р .к .

К б 4 .

,

Элементы г р .к .

К б

представим в

виде ^ .-2 И

С

^

к с ^ д

^

ш

)

. Пусть

Г

" °

.

Умножив

у.

,

если

необхо­

димо,

справа

на

-fe*

с

подходящим

s

, мы можем

считать,

что

И1

_

имеет вид 2 2> < ь

и офЪп е. КН

. Действительно,

в

теле

частных

£«о

Q (» H ) + а Q (KH)

г р .к .

К С ,

существует обратный

элемент

■af^Xi+acia)

для

Хп

и

(ocJtv x i a ) ^ in£

КН .

Тогда

вместо

у,

можно было бы взять

( ^ i + x j a ) у.

, Как выше показано,

тело

частных

дня

г р .к .K6g*K^»H^ существует. Скрещенное произведение циклической

группы < а б ,>

и

тела частных

Q(KGt }

,

индуцируемый скрещенным

произведением

( < * < ^ ,№ „ 4 ,« 0 а KG

,

является двумерным

прост­

вый делитель

нуля.

Поэтому,

для подходящего

* е К С

% ^.«о

и

%.

допускает

запись в

виде ^

J c L4

,

где

и ji,_K одновременно не

равны нулю. Кроме того нам удобно предполагать, что

v.

выбрал»

так,

что а.

наименьшее.

,

,

Если

^ шц+ ^ cl

К Н )

и

t t i

t H

,

то

К

etj, (a .1 % 1 i t 1)

a j 4

^

+ f e

;

(

a

V *

Пусть

' .

Тогда из

( I ) следует,

что

^

- 0

при

t>m+rv

и

В

jjfft

. Поэтому равенство

«р«*>

вле­

j\mb

чет за

собой

% шв

, а в силу выбора

записи

*

получаем, что

^ ^ * 0

. Как выше

показано, для

подходящего

м л

^ .

е

JCJ-J

^*г-«

и выбирая

вместо х

элемент

, мы снова можем

считать,

что

-

60

-

Если

=2,=

C*-*v

, то

E = ^

<*- ^

.

Поэтому

t/

JLLn*KH

для $»aiz.=2Z!>L{>1

и

J-Jb-n* P^.n. • О

для

L»-r

некоторых

dC,/i e KH

в виду существования общих левых

кратных для

> _ Л

и

. Тогда

*,=<£* + |12«21

О

и

*»Ч .-0

. По

U-n*<

®

доказанному

<jn =»0

,

а это противоречит минимальности

а .

■

Отметим, , что теорема 51 является следствием следующего более

общего утверждения

доказанного Левиным

на основании

работы П.Ко­

на [2]

:

С

■Пусть группа

является

свободным

произведением

групп

А

и В

с-.обьединенной подгруппой

II

., Если г р .к .

У>к

и

КЬ

не

име­

ют делителей

нуля и г р .к .

КП

обладает

телом

частных,

то

KG

-

кольцо

без

делителей

нуля.

■

Справедливость предположения

Капланского

для одного

класса

груп­

манека [21 *

доказанный

при

помощи метода

Залесского

Ш

•

ТЮРЕЗДА 5 2 . Если группа

С

без

кручения удовлетворяет

условию

максимальности

для

циклических

подгрупп,

то г р .а . KG

над

полем

К

характеристики нуль имеет только тривиальные идемпотенты,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

f>

-

фиксированное

простое

число,

&

*

класс сопряженных

элементов

группы

Докажем,

чуо

С ( п ,й ) Л С ( * п ,& )

-

пуото, если

л + m.

.Д ействитель­

но, в противном случае существует такой

J it G

, что

для некоторой

£ >

2

. Если

1U

- циклическая

подгруппа,

порожденная

, то в силу равенства

^

цепочка циклических

подгрупп

H .c=H 4c=H t c= •••

.является

строго

возрастающей,

что

противоречит

условию теоремы.

Если

х * 2 З Д а

, то

отображение

Т

(* -) = ■^т*

j c (

« о

к<

является

К -линейным.

Предположим,

что для

идеипотента

элемент

7 ^ ( 0 *

О

для

некоторого

класса

сопряженных

элементов

.

Если

И

-

подкольцо

с единицей, порожденное

j£ 4 ( v« i,

s )

,

то в

f t

существует такой максимальный идеал

М

Тогда

+

)

«. нетривиальный

идемпотент в

г р .а .

%toG

. Используя

вышедоказанное

свойство

под-

шожества ( т ( п ,& )

и рассуждая по аналогии! с доказательством леммы

9, легко

показать,

что

( о

для всех

» 1 > о .

Так как для достаточного большого t

в

подмноже­

стве

(? (£ ,& )

нет

элемента из

Suf>/> 6

,

то

7 ^ ( £ ) =

О

,

что в

силу ( I ) влечет за

собою

Т^ЧВ.) “ О

для

всех

п

,

в это

невозмож­

но. Следовательно,

для

каждого

элемент

Т & ( е ) = 0

.

Если

Х ( 2 3

£ , « . ) =

3‘ G

3-

то

X

-

roMOMopijsiai

г р .а ,

л?е

в

А

3**

з »

и

Х ( ь )

«^ t e +2 И TR Се) .

(2)

В силу равенства

X ( b ) - f X ( e ) J

элемент

ЗС(е.) равен

О или

I . Тогда из (2)

i x i

равен 0 или I и, по

теореме

8 ,

е

является

тривиальным идеыпотентом.

§13.

КОНСТРУКЦИЯ ХОЛЛА-ХАРРИ

Изложим

конструкцию Холла-Хартли,

при помощи которой

будет оп­

Пусть

f> -

фиксированное

простое чиоло. Предположим, что груп­

па G

обладает

таким

конечным

центральный рядом

/ - G c+1<= Ge =

- « = ( ? ,* = < ? ! - G ,

( I )

что выполняются следующие условия:

1) Для

всех

*■>/*

(& i>G p — G i+ j

2)

Каждый фактор

G i / g ^

разлагается в прямое

произведение