Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

Если кольцо К

удовлетворяет

условию

в

, то

и

* 4 “ ±%

. Отсюда в

силу

( 8)

( v ,+ y ) i4 с

®

и лемма доказана. Если же кольцо $

удовлетворяет

условию

в в

, то j>*о

в

К

и f> K + ipi4

,

для

всех

U s t i - l

, где

£>m w »(4(w,)4^(|>)*j3 £ ) ,

Согласно определению веса

элемента

си»-

для

кольца

К

с

условием

в в

числа

4Q>) .

а также

не меньше чем

. Сле­

довательно,

'К'*')

и

утверждение леммы непосредственно

вытекает

из

(14) и (1 5 ).

■

ЛЕША 55.

£ 1>я£ 4>

для всех

Л < Б .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим метод

трансфинитной индукции по Л .

Согласно определению веса, £^>0

состоит

из

нуля и из

всех таких

c t t K

, что "На)i t

. Поэтому

из

(7) следует ( 8) ,

если

Л- 0

Предположим справедливость ( 8 )

для всех

Л</& .

Пусть

w - a u s . u s - t r ^ e

E tijl

,

€ £ ь/>

. « е

-• < ^ 1

f t

и

имеют вид (4 ) .

Если

, то по индуктивному предположению

^ t 11

,

где

Л</&

и

.Отсюда

w \»i£

. Если же

,

то

по лемме 54

,/»

и многократно

применяя

эту

лемму получим,

что дня

,£>о

>Л

И

€

&М./1 •

Поэтому

^ '* /»£ £ s t 4(o>,),a

и в

силу

доказанного

t

•

•

1

Пусть

£ г

(о ^ ц д М )

обозначает

^-подмодуль

г р .к .

,

порожденный

элементами

a u

о весом

$(<*«)> t

, а

для

• v i M

nto)x r&)

-

68

-

ЛЕША 56.

I)

Et •£ [

£ * .{

;

2)

-

идеал г р .к .

КС ;

3)

м я

ч.Ш ,М '

E f - E (f

;

4)

А Ч М ) я е £ °

;

если х.£,М

•

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Так как

£^°-КС

,

Е ^ 1

А(КС)

, то I) и 2)

непосредственно следуют из леммы 55, а 4) является

следствием леммы

53. Для

ъ&М

€ Е1"*

и

Е ^

-

идеал г р .к . Кб

, Сле­

довательно, О-

^

E v M>

и

е !^ < =

Е * ^

*

й в

скяу

°имме*~

рии

справедливо

3 ).

■

гр .к . {> -групп

Следующая теорема доказана А.И.Мальцевым 1.2]

для

над

полем

характеристики

/>

,

Дженнингсом

(2]

для

г р .к .

конечнопо-

рокденный

группы без кручения, а в общем случае -

Хартли

U1 .

ТЕОРЕМА 5 7 . Пусть

}>

-

фиксированное

простое

число и пусть

нильпотентная группа

G

обладает

таким

центральным рядом

G»Gt z>

3 Gst 3 . . . 3

Gc .ry GiH~ i

,

факторы которого

прямые

произведения цик­

лических групп, порядки которых либо бесконечны, либо,

делят

^

и

СGi,Gj.)<!—

•

Боли коммутативное кольцо К

удовлетворяет

уело-

ОО 0

вив

П/>1/Са о

при

наличии

Ь-элемента в факторах

центрального

i*4

*

ряда, то фундаментальный идеал

А(т)

обобщенно

нильпотентен,

т .е .

ПА1( т * &

*

во

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме

56

A b e l ' S

и

Е « П

_

KG

М* I

идеал г р .к .

.

Поэтому достаточно

проверить,

что

Е » О .

Пусть (2)-запись элемента

«(-

и

соответствующий век­

тор.

Тогда

дйя каждого 1 < S

определим

на группе

в

функцию

* П.* .

Покажем, что

для

ой *

а Д 4+ ... +a.As <=■Е (<ч«.

существует

такой

A-eG , что

для

всех

^<5"

и

0 &L&S

Доказательство проведем методом

индукции по

длине

С>

ряда

( I ) .

-

69 -

Пусть

и

П

. Т а к как при с * i

л » е А

такие i% G

и

Я.(>е Gt

,'ч т о

о

при всех

X,

0 « i « g

и

^ « * ,2. . Так

как

Се,

принадлежит

центру

группы

(J ,

то в

качестве

А

можно выбрать

и

х £ с

£

.

Поэтому можно

считать, что

х

удовлетворяет

уоловию

/ л' ( О

> 0

. Тогда

-ас.»

и если

записать

каждое

в

виде

( 2) , то

в силу тождества (5) зс.

является

линейной

комбинацией

произведений

***,*»,.'"

»

гяе

,

каждое

имеет

вид

и порядок

элемента

превосходит неотрицательное

число

. По лемме 53

t?jt

принадлежит построенному

К -б ази ­

су г р .к .

K G

при любом М

и

ас

однозначно

записывается через

них. Так как х е

£

при

каждом

М

,

то

вес

произведения

«»*

превышает любое

наперед

заданное

число,

что

невозможно.

Следовательно,

ас»о

и

£ я О

.

■

§ В .

РАЗМЕРНЫЕ ПОДГРУППЫ

Пуоть

A(KG) -

фундаментальный идеал г р .к .

KG

группы

G

над коммутативным

кольцом

К .

Тогда

Я * ( ю М

? ь& 1» -1 б А а ( в в Л

является нормальной

подгруппой группы

G , так как это ядро

гомо­

морфизма, индуцированного на G

естественным гомоморфизмом г р .к .

KG

на кольцо * й /А*(КС)

. Подгруппу

Ф Л(К С )

называют л. -ой

размерной

подгруппой группы

С относительно кольца

К и иногда

кратко'обозначают

через

.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 58. Пусть

Gn— n -ый член

нижнего центрального

ряда

группы

G

. Размерные подгруппы

а

д

образуют

центральный

ряд группы

G

,

э

Gn

и для

кольца К

характеристики

f>

-

70

-

SO^(KG) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ~ Если

, то

€ /(K G )

и

(

?

•

>

?

-

)

-

!

-

£ У - Ц * * 1 Ж« - * » Х« ) £ А*^к в > •

Поэтому

(5)ft,9)m) s

Я),^ж

и подгруппы { * . }

образуют центральный

ряд

группы

G ,

из

свойства которого вытекает,

что

о G*. • Если

К

-

кольцо

характеристики

f>>0

,

то

=

+

1+эс£ -€.^rvj>

и s f t ^ d f O s я ^ й ю )

. я

ЛЕММА 59 . Если

JM G

и $ л(Кб)=>Н

,

то

для всех

1 4 А

-

u 6 i ( K % ) =

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

-/’s KG —*-К

-гомоморфизм,

индуци­

рованный естественным

гомоморфизмом

(г-*-

6/ы .

Тогда

*Р

сохраняет

сумму коэффициентов,

JC erf-У Ш )

и в

силу предположения S6n(KC)»H

s

/ (KG) .

Поятшу

Л К Й /д а ^ А Х К ^ )

и представитель

срЛ

смежного

класса

у\1 £ . $ $ % )

допускает

запись

t^ii -

f »

^

»

где

H) g A(KG)

и

y ^ tA (K G ) .

Отсюда,

£ » t osc)

,

s » ,( ) e % ) c = 4 i < « y H

, а

обратное включе­

ние очевидно.

■

ТЕОРЕМА 60. (Дженнингс) Если

кольцо JC

содержит поле

рациональ­

ных

чисел,

то

совпадает

с изолятором

ч

Л -го

члена

нижнего

центрального

ряда

группы

G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. фсУГ/» с^™ Сга

для некоторого

п

> о

Так

как

-

нильпотентна,

то

^

л/ $ л

состоит из всех

периоди­

ческих элементов фактор-группы G/Gn

и

( 4 > 4 ) < = W л+m.

•

Пусть

tp W a

и

{^-1сАЬ(К б )\ j t

(KG)

. Тогда

$ П(-Сп

при не­

котором

обратимом

в К

натуральном

числе

т.

и ^ 5 u j f ( K e )

, По

формуле

бинома

Ньютона