Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

ности. Тогда существуй* такие

порядковые

числа

О-

...4. Г , « £Г

и

элементы

что

Сс/С ы т

и

порядок

fyG in

либо бесконечен, либо равняется

р 11*

.

Элементы

(9*1 * < 5 }

называются

каноническим

базисом группы G .

Для каждого

Х<2>

через

j i O 0

обозначим

такое

целое

число,

«Тогда

у.

из

С

однозначно

записывается

в

виде

>

( 2)

где

< S

,

* )

-отличные

от нуля

це-

лые

числа и

удовлетворяет условию

р

Лу

,

если

*

имеет

порядок

р %

. Поэтому каждому

c feG од­

нозначно сопоставляется

целочисленный вектор

,

почти все

координаты которого равны нулю. Совокупность всех таких векторов

обозначим

через

S •

Пусть

М

-

фиксированное

неотрицательное

целое

число.

Каждому

x .e S

сопоставим

следующий элемент

г р .к .

К б

,

сомножители которо­

го

записаны в

порядке

возрастания

индексов;

П

ч

(3 )

US

где

если

-

если

а .г > 0

С'*)

и V

если

’Ь <

°

ЛВШ

5 3 . 'Элементы вида (3) образуют

К -б ази о

г р .к .

К б .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

иие8Т

бесконечный порядок.

-

63

-

£>

|4

Докажем,

что

К -модуль 1Лц с базисом

\1 > о , S > о ^

совпадает

с

г р .к .

К<с^,>

.

В силу

теждества

вто верно

для

М -о

и предположим,

что

U „ .rK < ? » >

. Тогда

6

11ц

,

ибо

из

равенства

+

следует,

что

/* t

\M*i

.<

/ ,

sM-i

~s*-i

/ .

чМ

*i

^ " ^ 0

<£a

+ (*"?•*)

9-»

>

* |

откуда методом индукции

no

s

/

kM**l .

.

Gie- -

имеем, что U-$»)

t

L tM

довательно,

LLM.f s

U.M

и

И н жК < ^х > .

Если (2 )

есть запись

элемента

у

, то в силу тождества (5)

есть сумма произведений сомножителей вида

< ^ -1

' .

Однако

ввиду (3)

и вшведоказанного

является линейной

комбинацией

элементов вида ( 4 ) . Следовательно,

fy-l

есть

К -линейная

комбина­

ция элементов вида ( 3 ) .

Предположим,

что и у

имеет вид (3 ) и определяется

вектором

. Пусть Y" - такое наибольшее порядковое чиоло, что у

векторов

ч}°

и

!L(*> различны

координаты о индексами

J" , Уеловим-

оя говорить, что п о ря д о к

Ц-j.

выше

порядка

.

если

’Ь ^ Ч ’ь ^ 'ъ о ,

или если

при

< О

Пусть а,,

имеет наивысший порядок

среди

элементов

tij,

( I -

■ i , 2 , - , i O

и

р п xft) .

Тогда в

записи

cl, il,+-... +

а я и а

через

элементы

группы

G

коэффициент при

А.

равен

* ct*

f

что

непосредственно

оледует

из

однозначности

запиои каждого

в

виде

( 2 ) . Следовательно, элементы (3) линейно

независимы и

ооохавляют

К -базис

г р .к .

K G . Я

Определим

на

кольце

К

функцию

")

оо

значением

в

кольце

целых

чисел

% .

в

Если

факторы

ряда ( I )

без кручения

или

фиксированное проотое

-

64

-

число р

есть

нуль в

К

, то

^(аО -о

для всех

о * а .е К

}С

в в

Если в

факторах

ряда

( I )

имеется

р -элемент

и р +0

в

,

то дополнительно предполагаем, что

О

и положим $(а)*грНа.

,

где

v

- наибольшее

целое

со

свойством

о * a

t

pvK

,

fi

-

длина

ряда (I ) я N

- такое

фиксированное целое,

что р

превосходит

по­

рядок каждого

р-элемента в

факторах

ряда ( I ) ,

Очевидно,

что для

всех ненулевых

с ц -6 е|С

* ( * * ) > *(eO + * ( i )

,

$ ( a * & ) > m i r > 0 ( a ) , $ ( 6 ) ) .

(7)

Пусть вектор

ч, =

определяет элементы вида ( 3 ) . Определим

функцию

•i

на «элементах

г р .к .

К&

вида

a i f c ( a e l C )

так:

( т + 1 2 ъ л ш

,

если

все

^ (a u .)= 4

*

I

М

,

в противном случае

где

функция

Ji-iti

для

кольца

К

с

условием

в

совпадает

jv(> )

(определение

j l O>)

см.

стр.

&Z ) ,

а для кольца о условием

®®

равна

.

Число

^(au )

называется

весом

элемента

c u t .

Обозначим

через

£yi

( O it^ ii

, А< S’)

-

подмодуль

гр.к . 1CG ,

порожденный

элементами

сил.

,

для

которых вес ■ $(eu)>t

КХршО

,

когда

.

Кроме того,

положим

Е ^ - Е и<>

для

t > M

.

Покажем,

что для всех

£

,

s

и каждого

А < 5

£ u - £ s, a ^ E -t.s .i •

( 8)

Для этого нам понадобится следующая

ЛШМА 5А. Пусть

а с К

,

U

имеет вид (3 )

и w* a u

t

г

где

Д

- непредельное

фиксированное

порядковое

число и

^ < S

. Если

( 8 )

справедливо

для

всех

,

то

( f t - i ) w

£

L » < w ),jn » ,p

,

(9)

где

£.= |

,

если

элемент

конечного

порядка,

а

в

против­

ном случае

- £ * t i

-

65 -

n r = l- ty f

f a ) . Тог­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

,

и

да

а гХ

и

%с A

,

так как

( G

^ G

^ s C ^

. По лемме 53

t

является линейной комбинацией

,

причем координаты векторов

т.д1^

,

определяющих

и}°

,

могут быть отличны

от нуля лишь тогда,

когда

их индекс

1 4

^д (г)+ л(й • Для

таких

X

и

-a('u.(i>) = 'Z > f > w

*

*

Я В + Я В

,

если

. Отоюда

\>(ui°)> nun.(М , jt4 r)*/■(/>)}

и

X £

. По предположению

и г

е.

и в

силу ( 8)

U-r t

С

S

kjERVjn?) ’ A-*

*

Поэтому су­

ществует

такой

элемент

w e.

, (i-i

.

wo

*

а отсюда

при помощи ( 8)

следует,

что

для

»ь>0

с

£ „ .& ?) W

h H

(10)

Выше изложенное

справедливо

и для

e« -i

. Таким же методом полу­

чаем,

что

% ^ r f r ^ f i ' u r f r

£ £*J,f>-l .

( И )

Пусть

w «

Щк

> где

Л„< Лг < ... < AKi |5

»

a

равен либо

Щ { ’ ( ^ ц > о )

.л и б о

щ? c£*L( г». < о )

• выра зим

через базис ( 3 ) . Тогда

^

- ь

( ь

+ f ^- ^ о + .. .^ ( i - ^ ) М+ ( i

•

<i2)

В случае

Я».< ^

докажем (9)

методом индукции

по к,

. Для

<- 4

утверждение

(9)

непосредственно

следует из

(1 0)-(1 Т ),

Если

же ff>4

и

Wmwt iru

. то по ( ID)-(11)

•

По предположению индукции существует такой элемент

»

что

. г д е

» i -

^.гг*+

+ *', У1* У Ь

• Тогда ввиду

( 8)

w-fc e

.

а в

силу

( 12)

w»

^(w)*Я£), /i

»

Следовательно,

при

лемма

доказана.

Пусть

Д*»/&

и *'=wiUj4 . В силу

случая,

рассмотренного выше,

существует

такой

^

е

ц-i

• что

5 ^ w = w + М

ф

*

) ч

* $

й

•

(13)

Пусть

(fofiMflii

~ бесконечного

порядка и

У

-

идеал

г р .к .К ^ ф Л ,

порожденной

/

М . Если

,

то

ify

£ УI

,

и

значит

и

^

1»^

является

линейной комбинацией

элементов

(Ь Х )

И

( i - ^ V

(к>о)

,

которые

имеют вес

>М

. По­

этому

Пуоть

fyGjtfan

имеет

порядок

. Тогда

£-«4

,

=

» ц ^

( н к с ^ )

и

t^u&,= «-/i -

и £ ы

, где

£ - < ^

.

Если

KK-p^-i

,

то

из

(13) непосредственно следует ( 9 ) , Если же

£ ,

то,

полагая

i*j>n*

, мы получим, что

t

•

Используя

формулу

бинома

Ньютона,

можно

найти

та­

кие

целые

,

что

i

i-i

i

Ггц.:

/>ХЗ m *

U /»

.(W )

V « i

Тогда

(13)

принимает

вид