Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

- 7 1 -

,

А<?"-i)-<r')* яС(г‘А± с:(»-<)'+

а отсюда

t> n , , ибо в противной

случае

y - l € A*(!kG)

, что

не­

возможно.

Следовательно,

д A (to)

и

с з6Л(КС).

Покажем,

что обратное

включение достаточно проверить

только

для

г р .к .

конечнопорожденной группы. Действительно, если

^

А ( b , r O ( % r i ) ... (?i,*tO £ A^kg)

и U

- подгруппа, порожденная J

и

, то она конечнопорожден­

ная и

у -le. КХки) . Поэтому для

некоторого t

fc lln ^ G k ,

и

Ч - Л

. 0 » ) .

Кроме того,

ввиду леммы 59

можно

считать,

что VA,

=

. Тогда

G

конечно по­

да

= >

. . . =

» группы■G являются конечноророжденкыми

абелевыми группами без кручения. Канонический базис

группы

конечен и каждый

& W * w+i

(см . обозначения в §13)

имеет бесконеч­

Вели

S

W s

, ТО

* A ty»G)

и

9 - Й ~

Л

где

Ws*«e*

.

Так как

е

А*(#6) , то в силу

тождества

x y - i

*

+ (*~i) * ( у ~ 0

(I)

имеем

(2)

По построению

ti~>ы

и

р - и

А

^

т

.Поэтому все

V* ,

Для

которых Цщ ) * к

при

условии И 4 М

, принадлежат

А ( к в ) .

Отсюда

А‘( к е ) .

а обратное

включение

непосредственно

вытекает

из леммы 56.

Согласно

конструкции

Es

для

всех

о * а е К

. Поэтому

К-подмодуль

модуля

является

прямым слагаемым

£ s

, и

элементы у %-1 ,

для

которых

= s

•

линейно

независимы по м о -‘

дулю As"(kg)= E {и

. Следовательно,

в

(2 )

все

, $ Ш1 и

i = l .

в

из всех таки-

, что

для некоторого X -числа т, , назы­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Кольцо К

содержит

кольцо

целых рациональных

чисел

Z

и по теореме 60 можно

считать,

что

множество X

неисчерпы-

вает всех

простых

чисел.

Пусть

-

кольцо частных

кольца А

относительно полугруппы

Р

,

состоящей из всех неделителей нудя кольца

А .

Тогда Z \ o e : P

и

5?,

содержит подкодьцо,,изоморфное полю рациональных

чисел

Q, .

Поэтому существуем

такой модулвный

Z «гомоморфизм

что

f *

Z |

а М Ъ

,

-

X -число .

Пусть

/ : G ~ ~

ft/ z

- Z

-полиномиальное

отображение

степени

(Пасси, [l] ) , т .е . такое однозначное

отображение

группы G

в

аддитивную группу

,

что ядро

его

Z

-линейного

расширения

I -

Z

G -

Q /Z

содержит

Aft(ZG)

. Тогда

-

А -п о ­

линомиальное отображение степени

^ п.-1

и

с Кеъ Ч*

для всех

f

t

SE)n(JiG) .

^

Докажем существования

такого

X -числа

Л

, что X ( $ - 0

* A ( z c )

тля

.Действительно,

т .к .

группа

имеет

элемент

любого конечного порядка,

то при несправедливости утверждения можн'о

построить такой гомоморфизм §

циклической подгруппы X g-i+A ^ZG ) >

группы А(гг,)/ д л(2 &)

в

группу

, что ц (у -1+ £ (г& )) имеет

-

73

-

в 'знаменателе не

ЗГ-число. Это возможно,

так

как 1г

не исчерпывает

вое* простых чисел, а в силу полноты группы

0-/2

гомоморфизм

S

*юж-

но продолжить до

гомоморфизма

? •

А(1С)/ «

г е Г

й / г

.

Тогда

отоб­

ражение

Ж )-<?(Ы +Ал( г е ) )

является

Т-полиномиальным отображением

степени

и

“Р ф

для

£ t

Й > „(£ §)

. В силу выше изло­

женного

имеет в

знаменателе

ЗГ-число,

что

противоречит

построе­

ние.

$ л№ )< =

Пусть

V *

-

ЗГ-изолятор подгруппы

S M Z 6 ) . Тогда

W a

.Действительно,

и пусть для

£.сФ «(£в)

существует

S' -число

Х 4 ,

со

свойством:

t ^ e J ^ Z G )

1

,

но нет такого

Зг-числа

<£*

,

что

.

Очевидно,

<^*с35Л(Рб) и ввиду вышеизложенного можно указать

такое

$"-число

X

, что

£

A'Cz g )

. Тогда

, что невозмож’во,

так

как

X X

является

£

-чис­

лом. Следовательно, SkC R G )«W ,t. а обратное включение

устанавливает­

ся методом,.изложенным в доказательстве теоремы 60.

■

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Следуя Брауэру,

центральный ряд

G »'УЛ1'Э T Jtj.'a ...

группы С

называется 171 -рядом, еоли

где

(Tfnu , С ) -

взаимный коммутант,

<ч>

-

наименьшее

целое

число

^■jr

,

a

T i ll

-

подгруппа, порожденная

р -ш и

степенями

элемен­

тов группы

TTU .

Иногда

удобно

записывать

YftK(G)

,

подчеркивая,

что это

к-ый

член

711-ряда

группы

G .

Очевидно,

что еоли

Uq G

»

то

Т О с О О с П Ц О

.

Более

того,

Для подмножества

и*»—»•*», €. TJI^CG)

существует

такая

конечнопорож-

Денная подгруппа

Н

группы

G

,

что

W t (H )

содержит

указанные

элементы. Действительно, при

t ~ l

утверждение

тривиально.

Предпола­

гая,

что

оно имеет место

для

Ш к( 0

ic<t

,

докажем его

справедли­

вость

для

VTlt (G)

. Очевидно.

Uj. '

допускает

запись:

- 7И -

, где

) -4 N ^ - ( % ) ( ^ ) • По

пы

и На

группы

G ,

что

<Дйе 7 П ы О О

И

« 1 ( ^ 0 0 .

Тогда

-

конечнопорожденная группа

и

7 n u 0 i . ) s m

u

o i )

,

т <

ч > (Н )

.

Следовательно,

u ^

m t ( и )

.

и

ТЕОРЕМА 62.

(Дженнингс) Если

К -

кольцо характеристики J? ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу приведенных

замечаний ТУ1к(в)

и Ф * (К С )

соответственно

являются объединениями воех

и

ф * ( к н ) .

ког­

да

И

пробегает

конечнопорожденные подгруппы.

Поэтому теорему

дос­

таточно

доказать

для

коне чнопорожденной группы

G

,

Очевидно,

Й 1(КС)*7П 1( 0

и,

если

^ ( K G ) 5 № {,(&)

то в

силу ( I )

(£ # )-!

и,

принадлежат

A (KG)

для любых

^ t Ш^ДБ)

,

7ft(-у,)(С)

и

^ t G

. Следовательно,

= ЭДКС) для всех

t .

Пусть

Ф Д кв )= ттД Б )

и

Ф Ы (К&) + "Н1Ы (6 ) .

Тогда

С/Щ , Г конечнопорожденная

нильпотентная

f>-группа, а значит

она

конечна и

^'■^Kniu(G) ~

. Поэтому по лемме

59

доказательство

теоремы

сводится

к случаю,

когда

G

конечная

/>

-группа,

^ i = T 4 i

и

^

н * 1 .

Выберем канонический

базис

группы по отношению к централь­

ному ряду

... s W &5?W щ

^ i

и рассмотрим

конструкцию

Холла-Хартли. Тогда каждый элемент

ipG

однозначно представляется

в виде

«

J .

*

и характеризуется целочисленным

вектором

’ж- = С4 , > • • •

,

^

,

где

-

канонический

базис

группы Сг

и

.

- 75

-

Пусть ju t )

_

такое

целое,

что

€

^ 'Wl/jiiii+i

. Тогда

в силу равенства

'ТП.{=9}{/$б)

элемент

-A

и

E t S

A 4K G )

;

а

обратное

включение

следует из

леммы 56.

Если

S U

K 6 )

.

ТО

9 = £ * 9Ъ

- . &

1‘ .

где

.■

и

0 < 'ci.l <l>

. Ввиду ( I )

+

( moJ АЫ(Кв))

,

а это невозможно, так как

f a - l

линейно

независимы

по модулю

Еы -А ы (к «

. а

Пусть

"Z^e

-

кольцо

классов

вычетов

по модулю

и

-

fv -ый член нижнего центрального

ряда группы ' (т

. Обобщая

конструк-

даю Цассенхауза,

Лазар

определил

подгруппу

(Тп.тш Л А

, где

if> & n f>

">*

U n

. Очевидно,

что

при фиксированном

е.

подгруппы

G „.,e

образуют центральный ряд группы

G

и

(G a,e>Gm>/ ) G

G«*«,e

Пусть

i p f i n f F 1

,

и

y e G i , Если

i

-

такое

наибольшее

целое, что

f t

делит к

и

й < »

, то

£ < / - е

и биномиальный ко­

эффициент

Ср*

делится

на

^>е .

Следовательно,

7

C j - ( y - i )с A ( I p « G )

«-№

г

*

г

Для

е = 1 точно также

проверяется, что

T U ^C ^sG ^^JflaC Z pG )

и в силу

теоремы

62

TYlft(G)=

Морану.

bJJLffG ) = Gn^e.

i

ТЕОРЕМА 63.

, если G -

свободная

группа,

либо если

G -

f>-группа д

n4f>

.

В

Моран-

I построил /^-группу,

для

которой

Gp«,e +

^е>1^ •

Вычислению целочисленных

размерных

подгрупп

посвящено

довольно