Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

76 -

много работ. Qo лемые 74

23t(zG)*Cl(

а Пасси,

Хигмэн и Хоар

[ i]

доказали,

что

$*(ZG )-G »

.

Однако,

& CZG )

не всегда

совпада­

ет с

Gi,

, как показывает

пример Рипса.

Используя

гомоморфизм

Z G - Z ^ G

при помощи теорем

62

и 63

легко

доказать,

что если выполняется одно из условий:

Кроме

этого,

Сендлинг

[2] для

конечных групп

G показал, что

S6a(ZG) - G a ,

если G

является циклическим

расширением абелевой

группы или,

если

G является полупрямым

произведением

абелевойонор-

мальной подгруппы

А и подгруппы

U ,

удовлетворяющей

условию

5 йл( 2 £ ) -

Н а

дня всех

п. .

§15. О СТЕПЕНЯХ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ИДЕАЛА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальный-идеал A(KG)

г р .к . К€

называется

та

•

обобщенно иильпотевтиыы.

если £ Ш

* С ) - о .

Задачу об обобщенной

нильпотентности идеала

A(KG)

впервые рас­

тений

на нильпотентность.

Напомним некоторые факты из теории групп. Пусть

G a

-

Л-ый

член

нижнего

центрального ряда

и

G -

обобщенно

нильпотентная

группа,

Q0

т . е .

H G ^ l

.

Если порядок элемента

g G a

в

при

любом п.

конечен (степень

одного и того

же

проотого

числа

f>

) ,

то

у,

назы-

- 7 7 -

вается

обобщенный периодическим (обобщенным

|»-элементом).

Группа

С

называется

аппроксимирумемой

группами

из класса

И. ,

если

для каждого

существует

такая

нормальная

подгруппа

Н

группы

G ,

что

g.tH

и G/н £ Й»

,

ЛЫкк 64. Пусть класс

групп

II

замкнут

относительно

взятия

под­

групп и прямого произведения и для каждого

Н * R,

фундаментальный

идеал А(КН) обобщенно

нильпотентев. Если

группа

G

аппрокснииру-

етоя

группами иэ

наоса

(L

, то

А (К 6)

-

обобщенно

нильпотевтеы.

ДОШАТМЬСТВО.

Пуоть

0 * х - Х 1Х ^ С

0А *(ИС)

.

Тогда суще-

отвуе* такая нормальная подгруппа

L

,

что

и

попарно различные смежные клаооы. Если

-

гомоморфизм,

индуцированный естественна!

гймоморфиэмом

&-*■

,

то

• .

,

и

£ 1 А Ч Ч )

что невозможно.

в

,

Следующая теорема,

доказанная Бовди и Киралем,

обобщает ряд ре­

зультатов, полученных Грюнбергом, Митальт, Парментером, имисом и

Кальюлайдом.

G

в»

ТЕОРЕЩ,

65.

Если

содержит обобщенный

|>-элемент, то

«в

Г Щ м ) « *

тогда и только

тогда,

когда

f lp 'K - O

и

G

-

аппрок-

П»1

Hal'

оимируема нильпотентндои

{>-группами

конечного показателя,

ДОКАВАТЕДЬСТВО. Докажем, что для обобщенного

f>-элемента

«J,

существует такое

л

, что

А О^б), Выберем

л.

так,

чтобы

я

р п

был делителем

С^*

для всех

I w t c m .

. Тог­

да в равенстве

♦ £ Ф

с г ( » - л ‘

( D

последняя сумма я элемент

прянадлежит

А (КС),

а сумму

можно представить в виде

р *($ -О л

,

где

x t

А(Кб).

В силу (I) J**(f"О 6 A4W»)

в, повторяя аналогичные рассуждения, из

этого

же

равенства легко

заключить,

что

рЧ *?"1) £ A (KG) .

Пусть

ЛА*(КС)-0

.

Если

П рпК + о

,

то

для любого

ft-

и

<30

»lei«

9

Л / К * о

существует

такой

ч.*

,

что

Ч-«)>,Ч Л

.

Выберем

ft-

так,

что

£ А*(Кб)

,

где

-

обобщенный

|»-элемент. Тогда

a A"(k g )

для

любого

m

,

а это

невозможно.

Следова-

тельно»

Л

^

к -

О .

а» 4

Рассмотрим

подгруппу

55лж^скс)» {^e€l| f-i ь А^)+р"А(ке)} .

Очевидно, что подгруппа jSft>lftij,(KG)

нормальна в

G

и фактор-груп­

па

m j,(KG)

нильпотентна,

так как

SD№>m.

,

|

»

содержит

f t -ый

член

нижнего центрального

ряда

группы

G .

Пусть

у

удовлетворяет условию

t

,

Представим

я

jr >af>n

К - I

в виде

Л

J

-

Л

t i - t . s c u - t e ^ d - i f

C f

t Ml

r

t*n.

Тогда

jb™

делит

для

и первая

сумма принадлежит

рАО Ю )

,

а

вторая

- А*(Кб)

. Поэтому

(KG)

и фактор­

группа

G/$

^

J kg)

является

jj-группой

конечного

показателя.

'

*

оо

Если

1ф£ с П $ л,т,ь (KG)

t

то

для каждой

пары

чисел

и,

и иг

*>m*t

Г

t

ЧТ0

существуют такие

х^е АХКб)

и

А (Кб)

,

Как выше показано, для обобщенного

/> -элемента

^ можно подобрать

такое

число

i

, что

f>4<$-t)е Аа(К 6 )

.

Тогда

(<^-*)(l-i)

х а +

£

А (КС) .

Так

как

ft

-

произвольное,

то

это

возможно,

когда

Об

' Р

.

Отсюда,

о = &

,

р -2 .

и

Z

есть

нуль в

К .

К-1

Поэтому

£

Л А Ч К б)

,

что

невозможно.

H.I

Обратное утверждение непосредственно следует из леммы 63 и тео­

ремы 57 .

I

С

ЛНММА 6 6 .

(Хартли,

)

Пусть

-

конечнопорожденная нильпотент-

-

79

-

ная группа без кручения класса нильпотентности

с

, а

Н

-

ее

под­

группа. Если аддитивная группа кольца

К

без

кручения,

то

А’Ч к О П Ш е А Ч к м )

для всех

*v .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Факторы верхнего

центрального

ряда

i«

GC+1C=

с G ^ -- *

группы

С

являются

прямыми произведениями

конеч­

ного числа бесконечных циклических групп и (

G

i <=

. Тогда

подгруппы

удовлетворяют

условию:

и

, По основной теореме о конечнопороясденных абе­

левых

группах

без кручения, существует такой

базис

9к

GiH,...

,

с^.. ч &Л>1

группы

Gi/G i

и такие

положительные

целые

числа

S4; »

(ei6 S{) ,

что

'

•• ’

являегся базисом

группы

и . ,

,

Тогда

элементы

у 1ъ-~ ,у п

составляют

канонический

базис

' / H i-

группы

G

по отношению к верхнему

центральному

ряду, а

элементы

,

нде

г

пробегает некоторое

подмножество V

последовательности

чисел

, т

, -

канонический

базис

группы Н

по отношению к ряду

Пусть Ji(i)

такое целое, что

^ ч €

Сл(1)+4

• Ири помощи кон­

струкции Холла-Хартли для гр .к .

KG

построим

функцию веса

и

под­

модуль

Е ^ \

Зафиксируем

т

и выберем М

так,

что

М > ч с .

Если

х t

ПКН

,

то по лемме 53

х - Х , ui*jEX —

X4u i ,

где

каждый

и[

принадлежит

К -базису

г р .к .

KU

построенного

для

выбранного

канонического базиса

группы

И

по конструкции Холла-Харт­

ли. Покажем, что

u i £

АЧ^Н)

для всех

i

. Очевидно, что для

любого

t >0

,

ввиду

тождества

«А -1

« (a-.l)(G-,i) + (a - i ) * ( t - i )

( 2)