Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

ш еей, что

p m( f i \ t X f a ~ 0 е A CKG) .

Аналогично

получаем, что pS(f^)(^~^ с А (.KG)

Если.

1 .. L.-S

1« Л , р + лг С^ f То

Кальшайд [i] показал,

что для любого

натурального

числа

it

существует

такая конечная группа

£ (rt)

,

терминал которой относи­

тельно

z

больше или равен

со*л

. Однако, для любой

конечной

группы терминал меньше

2со

.

Грюнбергом и Роузблатом

Ш

определе­

ны локально

конечные группы

G

,

терминал

которых относительно

Z

меньше

2в»

и показано

какие

значения

принимает терминал.

■

-

8 6

-

Г Л А В А

2

ИНВАРИАНТЫ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ

В 1947

г . на Мичиганской алгебраической

конференции Р.Трэлл по­

ставил следующую фундаментальную проблему теории групповых колец:

какая'связь существует между строением групп

G й

Н

,

если груп­

повые

кольца

KG

и

КН

изоморфны как

К -алгебры ?

В частности,

изоморфны ли в этом случае

группы

G и

Н

?

В настоящей главе обсуждается эта проблема и приводится ряд ин­

вариантов групповых колец. Для упрощения изложения

нам

необходимо

ввести ряд новых понятий.

Пусть

и ш

~

мультипликативная группа

г р .к .

KG

над комму­

тативным

кольцом

К

. Как известно, отображение

Х е

Ф ”

j

является

гомоморфизмом

г р .к . KG

на

К .

Поэтому, бграничение

на

U(KG)

задает

гомоморфизм этой группы на мультипликативную груп­

пу и (к )

кольца К

,

ядро

которого обозначим

через

V(KG)

. Оче­

видно,

что

U(№)*U(K)*V(ICG) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа V(Kfi)

называется

нормированной мультипли­

кативной

группой г р .к .

КС

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подгруппа Н

группы

V(KG)

называется

базисной

подгруппой г р .к .

KG

, если элементы

14

образуют

К -базис

К -модуля

KG

( т . е .

и элементы из

U

fc-линейно

не­

зависимы) .

KG=KH

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 72. Если

,

то в

группе

V(KG)

существу­

ет

такая

подгруппа

изоморфная

Н

,

.что

Gt

базисная

подгруппа

г р .к .

KG .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если

£:KH-*-KG

-

изоморфизм

колец, то отоб­

ражение

&( £ )

является мономорфизмом группы Н

в

группу

V(KG)

в

силу

равенства

Х ^ Я ) В 4

,

К - линейное продол­

жение

'f

задает

изоморфизм .между

г р .к .

КН

и

KG

, а

подгруппа

'/Ш )

есть

базисная

подгруппа

г р .к .

KG

.

Н

К упомянутой

проблеме

примыкает проблема

Р.Ьраузра:

будут ли

-

87

изоморфны две

группы

и

Сг

, групповые

алгебры

которых

над лю-

бш полем изоморфны?

Вероятно, предположение

справедливо

для

групповых алгебр групп

без кручения, но как

показал Дэйд

[I]

, существует

конечные

неизо­

морфные группы, групповые алгебры которых над произвольным полем

изоморфны.

§16.

ЦЕЛОЧИСЛЕНШ ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

Пусть

Н«<?

и

( f y .I I

} .

Тогда

каждый

х е К С

имеет

вид

2Z

$ i X i

и отображение

4^

,

определенное как

эс^

,

является

гомоморфизмом

правого

КН-модуля

К б

на

КН-модульКН

.

Отображение

сохраняет

сумму коэффициен­

тов

и для каждого

х сКН

% (* ) .* .

ЛЕММА 73. I) Если

х б А(Кб)У(н) ПKU

,

то

* £

А*(КЮ .

2)

если

g,s.Gni+AO*G)!tQJ)

,

то

•

3)

если К

гомо­

морфный образ кольца рациональных чисел и элемент у

группы

6

действует

на

как внутренний автоморфизм, индуцированный

элементом

ф

,

то

и ^

Ш

)

является

КС -модулем и для каждой

промежуточной подгруппы

З Д в О в Ь е И

фактор-группа

н4

К6-И30-

морфна

аддитивной

группе

кольца

^

и)/ к ( т т +

ш ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

хе.А(В6)У(М) ПКН

,

то существует

такие

a t c K C

и

,

ЧТО

X»

. Тогда

X - Ун с * ) « 2 р

% t o > 0 c* ) < А‘ ( к н ) •

Пусть

t^ tG n 1+А (К б )У (Н )

. Если

f i U

,

то

у - l

до­

пускает запись

в

виде

, где

x itB H

и ^аГ Ц С /н ) .

Отсюда

-1

с т

и )

,

что невозможно. Следовательно,

г

и

и в силу

доказанного, ^ - 1 ж А ( В Ц )

,

Пусть

К

-

гомоморфный образ

кольца

целых

чисел и

-

8 9

-

как абелевы группы различных порядков не изоморфны.■

ЛЕША 75.(С.Д.Берман) Если

х

- нетривиальный обратимый эле­

мент

конечного

порядка

целочисленного г р .к .

конечной группы

G ,

то

в

Sup/ ж

нет

элементов

центра

группы

G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если лемма

неверна,

то

существует

такой обрати­

мый элемент

х

конечного

порядка,

что

txx-t£.o + 0 .

Пусть

Л“-* Й (Г )

-

регулярное

представление кольца

1 6

.

н е

­

порядок

группы

G

и wt,...,<0 K

-

характеристические

корни матрицы

Д (* >

. Тогда

след матрицы

й(ос)

равен

/.п .

и

C.i

i- l

Так как

<£. -

целое

число и 1£.л1 > а.

,

то

а

отсюда

о»».

, Поэтому

и

«.«««»• 1

,

что

невозможно.

■

Следующая теорема содержится в работах Ливингстона и Кона, Пас-

смана

t2] ,

1мудя

и Куринной,

Обаяши [I]

,

Сэндлинга,

Сегала

и дока­

зана

для групповых колец конечных групп.

ТЕОРЕМА 76. Пусть

G

- произвольная

группа и

Н

-

базисная

подгруппа г р ,к .

ZG .

Тогда

существует

такое

взаимно-однозначное

соответствие S

между конечными нормальней подгруппами группы

G

я

U

,

что

f

сохраняет порядок, включение, пересечение и обьедине-

вие конечных нормальных подгрупп и обладает следующими свойствами:

X) для любых таких конечных нормальных подгрупп N

и М

,

что

Я с М

в фактор-группа

-

абелева,

М/ ц *

Ш Ь н

;

2) для любой конечной нормальной подгруппы

N

группы

G

(« Ю ’. ' Я Г

И

J(N ,C )-(* N ,H )

; У)

для любых конечных

нормаль­

ных подгрупп

М

И Я

группы

G

.

группы

О

. Тогда

является центральный алгебраическим

элементом к

х 4= п .х

. Так как

Z G * Z H

, то

+ A & s

(& i£W)

и ввиду теорем

19 и 26 подгруппа

носителя

элемента

х

конечна. По условию

Хе (£;)■=!

и