Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

- 90

-

а _

a - X e W

- g J t t - X , , ( х )

, a

в силу утверждения

леммы 75,

. Покажем, что остальные

гоже

равны

i , .

Пусть

гг-»И(1г) н регулярное

представление

кольца

XL

* Тогда

след

элемента х

равен Л1НЫН!

и совпадает с суммой всех соб­

ственных значений матрицы & (* ) .

Однако,

в силу

условия

й(эе.)г* aR(x)

собственными значениями для

R(x)

являются

О

и

л-

,

а

число нуле­

вых

собственных

значений равно IU - ILI

. Поэтому,

если

х *

- Т 1 Х &

,

то

для

элемента

хх*

,

удовлетворяющего

условию

(хх*) = а*х х

,

число

ненулевых собственных

значений

по

крайней

мере

If |

ILI

и след его

регулярного

представления равен

I U—

i L l Z X t

.

Тогда

l U E X U r ?лIU

и

I

ь

1 .4 ,

i-i

П

в

силу выше

доказанного. Отсюда Л*

равно

0

или

1

и в

силу ра­

венства

ха« а х

элемент

U L

И L

имеет порядок

п. .

Сле-

,

L < H

довательно,

ввиду

центральности

х

и

согласно

предположению

э,

Ж

=

как

аннулятор

элемента

х .

Поэтому,отображение

5"W=L

взаимно

однозначно,

сохраняет порядок,

включение, пересече­

ние и объединение,

так

как

l+y(NVflG

* N

.

Пусть М

, W

-

конечные

нормальные подгруппы группы

G ,

N sM

и фактор-группа

%

- абелева. Тогда Ш ~ Ж ш )

и

по

лемме

73, 3)

й y(M)/fc(ZG)y(M) + y(»0

. Так как

М

наименьшая

из

подгрупп

Р

,

для

которой

М/р

-

абелева,,

то,

в силу

доказан­

ного изоморфизма,

Взаимный коммутант

(к,е)

является

наименьшей

подгруппой

груп­

пы

И

такой,-что

^/(N ,0

тривиальный

ZG -модуль. Поэтому при

ZG -изоморфном

отображении % •

на

^ N/ ( S N ) '

подмодуль

^ ^ У н '

отображается на

й

=

)

Докажем, что

для

любых

конечных

нормальных

подгрупп N

и

М

группы

G

( M , N ) * G O h l m \ m ] Z G

. В силу включения

У(СМ,И))

s z f t ( M

) , m ] z G

можно считать, что

.

Тогда для

любых

CL6.M

, h N

и

[(a -i)^ , ( i - l t y i ] « (a.-i)(£K i)yyl . (a?l- i) ( i- l) y ty ,

где

{

1

и

fa »^]

- лиевый коммутатор. Поэтому

[ № 0 , Ж

] 1 С е А ( У 1 ) У ( Ю * У Ш)

.

(2)

Пусть

W-А Ш

,П ( М% ) - Л ( % )

и

£-1

принадлежит

идеалу

A(ZM)A(ZH)

гр.к. ZMN

.Тогда

f l - i - Z Z a J *

,

( a i eA(ZM),^€A(ZN)

ч „

1

%Ccu)^i € A ( Z W ) A ( Z N ) - A ( Z H ) A ( 2 W )

(определение

у/#

см. в

начале §16), Ввиду лемм 73 и 74

4i(9) tS 6 a( 2 W ) - i

,

так как Ад/ - абелева. Аналогично

получаем,

что

«{<(?>» 1

,

если

Л (МЫ - П ( % )

. Следовательно,

и ввиду (2)

i«MNflA(ZM)A(ZN)= G Л l+[X(M),y(N)]ZG .

В

силу

доказанного

утверждения,

„ это

наибольший идеал

среди

идеалов

У (А)

,

индуцируемый конечной

нормальной подгруппой

Р

и принадлежащий

ZG

. Согласно определению

отоб­

ражения

5"

У(Ы)*У(ИИ)

и У(М)-У(8М)

, Поэтоиу

y(SM ,SN ))

обладает тем же свойством,

что и идеал

if((M,N)) .

Так как отобра­

жение

5" сохраняет

порядок группы,

то

SiM ,N )m (m tSN)

. ■

Следующий результат

был получен

Хигманом и Пассманом

для

г р .к .

ТЕОРЕМА

77. Пуст'ь G -

разрешимая группа

класса 2 и G/jJ1

_

периодическая

группа.

Если Н

- базисная подгруппа

гр. к. ZG

, то

G =

, а

nF:i конечности коммутанта

С*

группы G

,

G

-

92 -

группы

и Н

изоморфны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме

75 в кольце

вое

элементы

конечного порядка исчерпываются

*С + «/(в')

.

Идеал У(б')

допускает

инвариантную

характеристику - это наименьший идеал гр« к .

ZG

,

фактор-кольцо

по которому коммутативно. Отсюда.

и по лемме

74,

&/(* а

% ■ . Поэтому для

каждого

оущеотвует

такой

y e G

,

что

i - 0 (* « ;« < * ,* * < ? >

. Тогда

А=9 +21 <4(?ri)(»t-0+S A fa-i) * * +ZI

A(ZG)y(<r)) ’

а в силу тождества U )

^

А { г т { в '^

«

& у Q V’i i ('a»dA(ZG)y(G))

.

Покажем,

что

* ф в £*,‘

однозначно

о п р е д е л я е т

элементом & . Действительно,

воли * * * * *

и

^ « ^ т о о ^ Й С О Э Д в 1) )

,

то

^ А * » * 6 A (Z e)tf(tf)

и по лемме

73

и 74

»

i

. Следовательно,

^

и отображение

■ЛО- j i

гомоморфно отображает группу U

на группу

6

о ядром

Если

G 1,

-

конечна, то из равейотва

следует, что

SCWi'

и по теореме

76

группа

М'

абелева.

В силу леммы 74

И

Н й С

.

•

§17.

ЙЗШУТАТИВНЫЕ ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Для каждого

порядкового

числа

X

определим

индуктивно подгруп­

пу

<

/

абелевой группы

6

. Пусть

6 }

и определены

G

1

.

Тогда,

если

оудеетвует

Л Н

для всех

а

для

предельного

<£

- g < a

g

>*

Пусть^ />

-

Фиксированное

простое

число

в

1*л

-

подгруппа

группы

G?

.порожденная

всеми

элементами

порядка

^

. Тогда