Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

а,

-

30

-

группа

носителя

элемента

конечна.

а. - ненильпотент и подгруппа

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть /( а .) » о

,

L =

< Su/>/> а >

бесконечна. Тогда

*fl(Supf>£i.)g,= Sufipa

.о т к у д а

A (L) = L

теореме

Неймана периодичесжая

часть

Я

группы

L

является

подгруппой н

V h

-

абелева группа без кручения. Предота-

внм

а.

в

виде:

Vift+

г

—+**%*.• где

и

**

представители

смежных классов

группы

L

по подгруппе

И .

КН

Пусть -реди центральных элементов

г р .к .

элементы

т у , ,

—

)

не

принадлежат

г а е Г (К в ).

Кроме

топ», предположим,

что

нумерация

смежных

классов

I

I

такова,

что

в

смысле линейного порядка упорядоченной груп­

пы

L/W

. Тогда

для

каждого

£

,

когда

0* и

.

Пусть

.Т о гд а

o -* 6 T a d (K G ).

*

ж^а*(гу-а)) fe>ta.c/(Wj и для

некоторого

гу

О *

чУ)ж Л 1 ty-?'m + ^ г г - 4" '* . . . + Jj*

где

fat 1C

и

>

( ^

.

Если

, то

покажем,

что

или t t L ^ t x o c f ( K G )

,

Действительно,

еоли

•

то из ( I ) вытекает

Отсюда

( t% £ ) * ? o

*

так

100

ве

является Делителем

нуля.

Пусть

М ж{щж^

ч 9 . . . ,

- множество всех элементов, соп­

ряженных с

при

помощи внутренних автоморфизмов

группы

6 .

Тогда М состоит

из

попарно

перестановочных вильпотевтных

элементов

и уМ-Му

[%*&)

.

Поэтому

- нильпотентный идеал и

Если

Н 6

,

то

и выше изложенным методом

снова

до­

казываем,

что

v t i x « /( l6 6 )

.

Полученные результаты

противоречат

предположению.

Следовательно,

n . * i

,

и

удовлетворяет

условию теоремы.

И

-

3 1

-

ТЕОРЕМА 27 . Подгруппа носителя каждого центрального идемпотента

г р .к .

К(г конечна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Центральный идемпотент

е

является

центральным

алгебраическим

элементом

г р .к .

КС

и по

теореме 26 существует та­

кой

центральный элемент

€1

,

что подгруппа

конечна и

е - с *

,

(K G ) .

Пуоть

X = e

j

-

и

«решение

уравнения

( х ^

x ) ( i + **)■*•

+ ЗЬ * 0

. Согласно

известному

классическому

методу

понятия идемпо­

тента

такое

iti

существует и является линейной комбинацией степеней

элемента

ц,

.

Тогда'

ё »

+ * * (1 - 2.e t)

-

центральный идемпотент,

< S u p e > G Z < S u p p e d *

J ^ C e - e ^ - ^ d - a e i V e - c t

€. XaclQCG) •

Поэтому

J

-

нильпотент и

из равенства

ж.

следует,

что J * О

и

е = ё

.

В

Рудин и Шнайдер

[i]

впервые

доказали

существование идемпотента

с бесконечной подгруппой нооителя. Наличие

таких идемпотентов в г р .к .

непосредственно вытекает из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 28.

В г р .к .

К С

тогда

и только

тогда

подгруппа носите­

ля каждого идемпотента конечна, если группа G

локально

конечна иди

все

идемпотенты г р .к .

К С

центральны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ввиду предыдущей теоремы, нам остается только

проверить

необходимость условия.

и

Пусть

И -

бесконечная

конечнопорожденная

подгруппа группы

С

е

- нецентральный идемпотент

г р .к .

КС

.

Тогда

каждый такой

элемент

е >

, что (^£.е.ФеуЛ

для

некоторого Л £ К

,

порождает вмеоте

с

Sw ppeУ подгруппу

носителя одного из идемпотен-

тсв

e

+ e

g

j

t

c

или

с + е с р £ е - е ^ .Х

,

который мы обозначим

че­

рез

.

т

Предположим,

что

г р .к .

принадлежит

централизатору кдемпо-

тентов

fc

и

.

Среди всех

конечных

систем

образующих

элементов

группы

У с"

^

, содержащих

£ир|>

, выберем систему

{

с минимальным числом элементов. Тог­

да подгруппа

носителя

идемпотента

J

-

е +

(«Ц,- e ) ( i +

... + /1Л^

- 32

-

нечаую подгруппу ^ W = <CSup/je

с

наименьший

m

,

что для

каждого

Ь

подгруппа

^ Suf>j>С

5...

>•••

конечна. Тогда

подгруппа

не является

нормальной в W

и мы можем

считать, что

< £ W t .

В силу вышедокаванного, существует таксе

t

, что е

+ е ^

,

ибо в

противном

случае ICM

принадлежит

централизатору идемпотентов

с

и

е

z

•

Пусть

У ”

ч ,

Предположим, что построен идемпотент

совпадает

с W j,

. Тогда

(U

f4i)

подгруппа

носителя которого

t н

так

как

i+ l < £ w t

J

"

J ‘nitl

идемпотент

с

подгруппой

носителя

W t*i

. Следовательно, W

является

подгруппой

носителя

идемпотентов

,

что невозможно.

■

Изложенные в §2 результаты даст основание предполагать,

что ес­

ли г р .к ,

KG

над

коммутативной

областью

целостности

обладает

нетри­

виальным идемпотентом, то порядок некоторого

элемента

из группы

6

обратим в

К

(см .

работы Колемэна,

Бовди

и Мидовского [2]

и теорему

5 2 ).

Ь

Предположим,

что в

группе

существует

нецентральный элемент

,

порядок

которого

л

обратим

в

1C

и, если циклическая под­

группа

< ^>

нормальна в

Q ,

то

в

кольце #

существует

обратимый

элемент

£

порядка

п.

. Тогда

■£;({+&£+...+U <plw )

или

е 4*

*

- ^( ^+

нецентральный идемпотент в зависимости от

того,

нормальна или

нет

циклическая подгруппа <9>

. Используя метод дока­

зательства

теоремы

26,

можно показать,

что каждая

конечнопорокденаая

подгруппа

И лежит в

некоторой

подгруппе

носителя ндемнотеита. Set-

тому

описать отроение

подгруппы

нее* теля

нецентрального идемпотент*

невозможно.

§7 .

УСЛОВИЯ МИНИМ/ДЬЮСТИ В ГРУППОВЫХ

КОЛЬЦАХ

По предложению Э отображение

являетоя

го­

моморфизмом г р .к .

KG

ьа Ю

. Очевидно, гомоморфизм X

зависит

от

выбора группового

базиса

С

. Иногда

это

будем подчеркивать,

обозна­

чая гомоморфизм 2С символом

X g .

-

33

ЛЕММА 29 .

Если

е

такой минимальный идемпотент г р .к .

КС

,

что

Х ( « ) * 0

,

то группа

б

конечна,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

£-

- минимальный идемпоте нт,

то е К б е

-

тело.

Пусть

e ( i - ^ ) e + 0

для некоторого

^ С .

Тогда

существует

такой

,

что

е ( 4 - * ) е у » е

и

X ( e ) = X ( e ) X ( i - * ) X ( e $ « Q

,

а

это

противоречит

предположению

Х ( е ) * 0

. Поэтому

e< g e* e

для лю­

бого

« ^ е б

.

Если

, то элемент

из

5u/>/>

е ^ е

совпадает

с

некоторым

&к

. Следовательно,

Lj

я группа

конечна.

КС

ТЕОРЕМА 30.

Г р .к .

тогда и

только тогда удовлетворяет

усло­

вию минимальности для левых идеалов,

если

группа

6

конечна я К —

кольцо с условием минимальности для левых идеалов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть г р .к . KG

о

условием минимальности

для

левых идеалов.

Тогда

кольца X(КС)

,

]2 »

^/ииПС

“ К б .

как

го­

моморфные образы

К б

,

удовлетворяют

уоловию минимальности для

ле­

вых идеалов.

.

Если 1tc u /K 6 # Q

,

то

по

теореме

20

группа

6

обладает

конеч­

ной нормальной

подгруппой lit

» порядок которой является делителем

нуля в

ЦС' .

При

наличии

ненулевого

радикала в г р .к .

К% ,

в

группе

снова можно указать такую конечную нормальную подгруппу

*

что порядок

-

делитель

нудя в

К

, Повторяя это рассуждение,

мы построим в группе

б

отрого возрастающую цепочку

конечных

нор­

мальных подгрупп

со свойством: порядок

Н и / л г

делитель нуля в

}С .

Тогда

С

£

—

строго

возрастающая

прямую оумму минимальных

идемпотентов: i * e-t+е»+...+

. Тогда

i - X U ) *

и ~

Х (ес)^о

хотячбы для одного

v

, Следовательно,

по

лемме 29 группа

б

конечна.

Ю • о условием минималь­

Обратно, пусть

б

- конечна

и кольцо

ности для левых идеалов.

Если

•••)$«. - все

элементы группы

G

,

- 34 -

то К -модуль KG

является

конечной прямой

суммой подмодулей <^,К ,

каждый из

которых

с

условием минимальности

для К

-подмодулей.

Сле­

довательно,

К С

также

удовлетворяет условию минимальности для

К -подмодулей и тем более для

К б

-подмодулей.

■

Напомним некоторые известные факты о кольцах о условием мини­

мальности для главных левых идеалов.

ЛЕММА 3 1 .

Пусть Л - кольцо

с единицей,

удовлетворяющее усло­

вию минимальности для главных левых идеалов. Тогда:

1)

ju „

каждой последовательности элементов

а * , а * , . . . >««.»••*

жэ первичного радикала 'ьасШ

кольца Л

существует такое

пм

, что

Ощ

* О

5

2) Я/тлсШ -

полупроотое

кольцо

о условием минимальности

для

левых идеалов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из стабилизации цепочки

i*^SrCL%Q-i *

Л C

j Q

j f l - | . . . —s' A Q n O-n-l ,M OtO^ Э •••

следует,

что

ддя

некоторого

m

Яamа ж.4 _ а ,а , -

Я о»,,

... а *а *

“

i~ x aM

с ц » х а в„ а „ ... а ,

.

Так как

х а тиеха<М1

,

то

-

обратимый

элемент

и из равенства

( i - асОо»Ла«°« -i— а* * о

следует,

что

» 0

.

м

*

Известно,

что минимальный идеал j

t

полупервичного кольца

Я * 1

* % «</А порождается

идеыпотенткда

элементом

е*

и 5 *

,

где

fa B ii-t-t)

•

8 силу условия минимальности для главных левых

идеалов внутри

$

имеется минимальный левый идеал

кольца В .

Пуоть Цх^Лег . Тогда

е£+ е а -е * Ч ® е »

•

идемпотент," так

как

С ^ е ^ о

и на основании соотношений е,е„.«

и

е »

заключаем, что

J^e

i/t *

Д e tl

и

B=Ue,n® fi(i-ba)

.Е сли

>

щую цепочку главных

идеалов <У,3

. Из конечности этой

цепочки следует, что для некоторого t

« 4 » 0

. Следовательно,

кольцо $

является

прямой суммой конечного чиола минимальных левых

идеалов.

■

KG тогда

ТЕОРЕМА 3 2 . (Вудс, Рено, Миховски)

Г р .к ,

и только

тогда удовлетворяет

условию минимальности

для

главных-левых

идеалов.