Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

м х + Му = - D(1 + V) V2 W - —

(2.9)

5 (1 — v)

Приведем уравнения (2.4)

к несколько иному виду. Для это-

:го рассмотрим уравнение

(2.3)

и условие равновесия:

 

 

d Q x

 

 

d Q

y10

 

 

 

 

 

( 2. 10)

 

ду

дх

 

6*

1 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3Qx .

eQy

 

 

 

 

 

 

( 2. 11)

 

дх

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем первое уравнение по у, второе по х.

Сложив их почленно, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

* Q =

d ^ Q

x, ^2QX _

 

_

 

 

Лд

,

( 2.12)

х

дх3

 

ду2

ду

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

Аналогично находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д Щ

у

 

 

d

' Q

 

y

aq

(2.13)

 

дх*

ду 1

 

 

 

йх

ду

 

 

 

 

 

Подставив (2.12) и (2.13) в (2.7) и (2.8), получаем

 

 

av ?w

+

г

 

82 (2-м )

aq

(2.14)

 

дх

 

10

(

1

-м )

дх

 

 

 

*

ду

 

 

 

 

 

 

aV2W

 

a^

 

8*(2—м)

__ дЦ_

(2.15)

 

 

ду

 

dx

 

10(1 - м )

ду

 

 

 

 

 

Найдя отсюда соответствующие производные, входящие в уравнения (2.4—2.9), получаем после их подстановки следующие

.зависимости для силовых факторов, выраженные через функ­ ции w и ф:

м х ==■■ -D

д2

asw\

. - d -5!

. a’v 2w

J_

82

а8Ф

дх2

1 ду2 )

5

дх ду

 

5

дх 2

 

 

8^(2—v)

a 9q

v

В2

 

(2.16)

 

50

(1—v)

д х 2

1—■v

10 q;

 

 

36

My = - D ( ^ + v ^ - D ®D

52 v2 w

 

•62

 

52 4»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

\ду*

 

дх2)

5

dy2

 

T"

 

5x dy

 

 

 

 

54(2-4»)

 

52 q

 

 

52

 

 

 

(2.17);

 

 

 

50(1 - •v)

d y *

1-

 

m

q:

 

 

мху =

(1—

 

52 w

 

 

 

52 y2 w

62

/д 2 >i

 

52 4

v)D

 

 

 

 

5x;5y

H----- (-

 

 

 

 

5x dy

 

 

 

 

10 15x2

 

5y2

+

 

 

 

 

 

+

54 (2—v)

52 q

 

 

 

 

(2.18)

 

 

 

 

 

ЬО (1—v)

5х5у

 

 

 

 

 

 

Q

*

= -D

5у2 w +

5±

52 (2—V)

дЧ .

(2.19)

 

 

 

5х

' ду

10(1 —

V )

дх

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qy-

 

D

5 у 2 W

- 5ф

52 (2—V)

5q

 

(2.20у

 

 

 

 

5у

дх

1 0 ( 1 — V)

5у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для углов поворота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Рх =

5w

,

12

1 +V I

 

п 5у2 W

54

52 (2—v)

5q

'

5х

 

5

Е 6 [

 

дх

5у

10 (1 — ч) дх

(2.21)

 

 

 

 

Ту =

5w

,

12

1-И

Г

 

D ду2 w

54

52 (2—v)

5q

(2.22)

ду

"Г

5

Е 5

L

 

ду

дх

10(1 — v) 5у

 

 

 

При расчете круглых пластин используются уравнения, запи­ санные в полярных координатах. Оператор Лапласа при этом преобразуется к такому виду:

52_

_1_

_5_

_1___ 52_ ^

(2.23)

5г2

~ г

5г ■

i2 502 ’

 

приводим также уравнения, выражающие силовые и дефор­ мационные факторы в полярных координатах:

+

52

5

 

54 \

54(2--Д

52 q

м

S2

 

 

(2.24)

5

(-L

 

50 j

50(1

 

5r2

1—v

10

q’

 

 

5r V r

 

 

 

 

 

— —

•

d\v

1

52 w ,

52 w

 

 

 

5

V2W+

м 9

— +

 

+ v------

- f f - L .

 

 

-D

 

r2

502

5r2

5r

 

 

 

[\ r

 

5r

5

l r

 

 

*

ът

1

32 у2 w

S2

_ _3_

 

Зф

5* _ 2 -V

 

г2

 

302

5

Зг

 

30

50

гз ;

 

 

 

 

f2

32 q

 

1-M

8s

 

 

 

 

 

302

 

 

 

 

Мге =

D

 

_3_

* ^

+

82

j3_

3 у2 vv

(1- - ) 3 , -

5

3r

30

 

 

 

 

3r \ r

30 j

'

 

32 /

Q2 ф

___

1

32 ф

j>4(2-v)

3

 

5 U r2

 

3r

Г2

302

+

50 (1—v)

3r

'

 

 

 

 

X 3q30_)■

 

 

 

 

Qr = - D

3y2 w

 

 

82 (2—n)

3q_

 

 

 

30

1 0 (l- v )

 

 

 

 

3r

 

3r

 

Qo = — D —

3y2 w

Зф

82 (2— v)

_1_

5q_

 

 

 

Г

30

3r

10 (1—v)

r

30

 

 

d w

, 12

1+ V| __D <?V2 w

_1_

Зф_

82 (2-

 

■ <Pr= -— + —

Eo

3r

 

30

—

V )

 

3r

5

 

 

10 (1

 

T +

(2.25)

— X

Г

(2.26)

(2.27)

(2.28)

3q

3r 1

(2.29)

3w

_I2

1-И

— D —

3v2 w

Зф

82 (2— -v)

3

 

3r

10(1—v) X

5 Eo

r

30

 

 

X -L

3q_

 

 

(2.30)

 

 

30

 

 

 

 

г

 

 

 

Приведенные выше формулы используются для составления конечно-разностных уравнений, характеризующих граничные ус­ ловия, а также для определения внутренних усилий. Необходимо отметить, что обычные конечно-разностные уравнения не могут дать решения поставленной -задачи и учесть ее специфичность. Поэтому приходится использовать либо полиномы высоких степе­ ней с применением метода коллокаций, либо специальные функции.

При решении первого уравнения обобщенной теории (2.1) применяются уточненные, конечно-разностные уравнения. Они же служат основой для формулировки краевых условий. Для этого необходимо найти входящие в (2.1) производные из полиномов (1.64) или (1.116). При расчете круглых пластин используются тригонометрические полиномы.

58

§ 2. Численные алгоритмы решения задач изгиба пластин с учетом деформаций сдвига

1. Прямоугольные пластины.

Решение уравнения (2.1) можно искать в виде полиномо® (1.64) или (1.116). Тогда конечно-разностная аипрокеимацияЕ уравнения (2 .1) запишется так:

а) при решении в виде (1.64)

40 + ^ + ^ ) Wo_( l '+ ^T ~i')(Wl+w»)

+

 

+ - ^ 7 — 1 )( W2 -I-W 4) — y f 1 + у — y ) ( W 5+ W 6+ W 7+ W 8) +

+ +

2~ + (Ws + w“)+i +

+ ( » , . + » ■ „ ) + + 1 -

 

 

■-----г ) ( Wjj + w J4+ W 45+ w16) + —

—( 1 + —~')(w‘i7+ W 18+

W 19+

 

6a*

 

 

1 , 82 2—N

 

 

+ W20) — I T + Щ. £ ( 1 + £ ) М т - £ г 5 ) ‘ * +

 

+ ^ + ( т - ^ ё )(< и - * > } £

^

б)

ори решении в виде (1.116)

(квадратная сетка)

 

1.900 Wo — 752 (wi + W2 + W3 + W4)+ 144(ws + W6 + W7 + w8) +

+ 148(wg+ W10+ Wn+ W12)

— 16(wi3+ W14+ w15+ w^) + w17+

+ w18+VV| 9 + w2o — 3qd[

(1596

+ 840 i _ v]

(156-

192 ^ ■ g W + q3+ qa +

q4) + ( 1 8 - 2 4 ^ 2- ; )(q5+

59-

q6 + Qj + qg)— 13 —

 

— 6 — -у— )(q9-P qj° + qj, + qi2)j •

(2.32)

Приводим значения производных, входящих в формулы

(2.16—2.20):

 

а) для центрального узла 0

 

'( йГ)о=

+ 8“2 ~ 40a4)(wi— w3) — 4(1 + a*)(w5 — w6—

—w7+ w 8)— a2(4—5 a2) (w9—wn) + 2 a2(wi3—wi4—wi5+ w 16) +

 

(q3 — q i) h |

(2.33)

 

+ w17 + w 18 -f w ,9 -f w so] +

 

30 D

 

(57)0 =

6o7h7 K40 ~ 8a* ~~ 6®4)(w2 — w «) + 4a,(l +

®*)(we 4-

+ w 6 — w- — w8)—(5 —4 a2) (wio — w]2)— a 4 (wi3 + wj4 —Wi5—

— wie)— 2a* (W17 + W18 — W)9 — Wj0)]

(Ч2—Ч4) “3 h|

(2.34)

30D

 

 

5* w \

1

dx2

90 hi;

12/1 + 2 —

'

l w0— —

— f- — •

2 „2

a !

\4a2 3

— 5a2)(wt + w3) -

+

y )(W 2 +

W4)+

^ ^ 5

+

1 )(w5+

+ W6 + W7 + W8)

+ ( j j— y )(Wb + w„) + ^

(w10 +

w12) —

- 4* (W>3 + wi* + .wi5 +

wie)— ~

(W17 +

W,8 +

W19 +

+

(2q0qt - q3)h;j

 

 

(2.35)

W20)

• D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•60

Смотрите также файлы