Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
Структура конечно-разностного оператора, естественно, изме нится. Вместе с тем появляется возможность более точного удов летворения краевым условиям. Это (позволяет решать задачи из гиба (или плоского напряженного состояния) пластин с неболь шим числом узлов сетки при удовлетворении сложным гранич ным условиям (пластины с вырезами, с различными очертания ми (В плане и др.), а также нелинейные задачи (физическая и геометрическая нелинейность).
• Разобьем пластину прямоугольной (сеткой и рассмотрим об ласть, примыкающую к узлу 0 этой сетки (рис. 6).
Рис. 6
41
\
Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластины, как известно, записывается так:
+ |
2^3 |
------ |
(1.112) |
дх‘ |
г |
a‘ W + Р » ^ = Ч(х.У). ' |
|
д & йу2 |
|
||
Предположим, что нагрузку, действующую в окрестности |
|||
узла, можно представить в .виде полинома |
|
||
q (xjy) = Аоо + Аюх + |
Ат у + Апху + А20х2 + А02у2 + |
А21х2у - f |
|
А]2ху2 -(- А30Х3 -f- Аозу3 -f- А22х2у2 -f- А40Х4 -{- А04У4. |
(1.113) |
||
Коэффициенты Aik |
этого полинома можно выразить через |
||
значения нагрузочной функции в узлах сетки или взятые вне
узлов а, Ь, с, |
d, f, g, h, |
k (рис. 5). |
|
|
|
Приводим значения этих коэффициентов. |
|
||||
Первый вариант загружения. |
|
в узлах сетки 0—12 |
|||
Ординаты нагрузочной функции заданы |
|||||
(см. рйс. 5): |
|
|
|
|
|
|
|
Аоо — Qo> |
|
|
|
A10hx = |
— (—16qt + I6q3 + 2q3 — 2qn ); |
||||
A01ahx = |
^ - ( I6q2 - |
I6q« — 2q10 4- 2q12); |
|||
|
|
24 |
|
|
|
An a hj = “ (—6q5 + 6qe — 6q7 + 6q8); |
|||||
AJohx = |
- - ( — 30q0.+ |
16qt +16q3 - |
q» — q«); |
||
A 02aJ h |= ^ - ( - 3 0 q 0 + |
16q, + 16q4 - |
q10 - |
(1.114) |
||
q12) ; . |
|||||
A;,j ahx = |
— ( |
12q2+ 12q4+ 6q5+ 6q6 — 6q7 — 6q8); |
|||
A12a* hx= |
—(12qj— 12q3—6q5-(-6q6-f-6q7—6q8); |
||||
42
Аз0 hi—— (4qi—4q3—2q9+ 2q11);
Aos«3 hx3 = ^ -(—4q2+ 4q4+2q10- 2 q 12);
AJ2a2hx4 = ^-(24qo-12q1-1 2 q 2-1 2 q 3-12q4- 6 q 5+
+ 6 q 6+ 6q 7+ 6q 8); |
||
A4oh^=— (6q0 |
4q4 |
4q3+ q 9-t-q11); |
Ao4a4hx= ——(6q0 |
4qs |
4qi.0+ q )0-f q12). |
Второй вариант загружения.
Ординаты нагрузочной функции заданы в узлах сетки 0—8 и в промежуточных узлах а, b, с, d, f, g, h, k (см. рис. 5) :
Aqo — Qj!
A)0 hx= — |
4qa+4qcH- — q4---- q3j ; |
|
A0i* h x = |
Y^4qb- 4 q a— £ -q ,+ -i-q*); |
|
A j,ah| = — (—3qf+3qg+3qK+ 3q h); |
||
A2o h |= — ^ —15q0+ 8q a + |
8qc ---- qt— -j- q3j ; |
|
A0a h | = — ^ |
15q0+ 8qb + |
8qd — —q2 — j- q*j; |
A2i a h |= — (12qa—12qc—6qf+6qg+6qK—6qh);
(1.115)
A12 a2 h|=;— ( — 12qb + 12qd-(-6qf+6qg—6qk—6qb);
A30hx3= y ( 4 q a- 4 q c- 2 q 1 f2 q j;
43
|
|
А03 a3 hx= — ( —4qb+4qd+2q2—2q4); |
|
|||||
|
|
A« hx=— (6q0 —4qa—4qc+ q 1-f-q3); |
|
|||||
|
Ao4a4 hx= — (6q0 |
4qb—4qd+ q 2-f-q4); |
|
|||||
A22a* h4x |
- |
- (24q0j —12qa—12qb—12qc—12qd+6qf + |
|
|||||
|
|
|
+ 6qg+ 6qk-f 6qh). |
|
||||
При |
решении уравнения |
(1.112), учитывая, что |
правая его |
|||||
часть представлена в виде функции |
(1Л13), примем полином |
|||||||
w = а0о +-аюх + a0iy + |
амху + 'а 20х2 + аогУ2 + a2ix2y -f ai2xy2 - \ - |
|||||||
+ а30х3 + а03у3 + а22х2у2 + а40х4 + а04у4 + а23х2у3 + а4!х4у + |
||||||||
+ |
ЭобУ5 + |
анху4 + |
а5оХ5 -р а32х3у2 - f а33х3у3 + ai5xy^+ a5ix5y -f- |
|||||
+ |
абох6 + |
а24х2у4 + |
а42х4у2 + |
а0бУ6 + a6ix8y -f- а43х4у3 + а25х2у5 -f- |
||||
+ |
ao7V7 + |
а52х5у2 + |
а^ху6 + |
а34х3у4 + а70х7 + а8ох8 + |
а62х6у2 + |
|||
|
|
t |
+ а26х2у6 + а08у8 + |
а44х у . |
(1.11б> |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенные параметры aik |
этого полинома, |
содержаще |
|||||
го 39 членов, выразим через прогибы пластинки в узлах сетки (27 условий, см. рис. 5), а остальные коэффициенты найдем из условия удовлетворения (1.116) дифференциальному уравнению
•изгиба (1.112). Для этого приравняем <к нулю все выражения, стоящие при переменных и образованные в результате подста новки полинома (1.116) в (1.112), 12 условий. Таким образом получаем систему из 39 неизвестных, решая которую найдем все
параметры полинома. |
1 |
Для того, чтобы |
полином (1.116) полностью удовлетворял |
( 1.112), нужно записать условие его удовлетворения в централь ном узле 0:
24 Pia4o -f- 24 р2ао4 -р 8 (53а22 — qo. |
(1.117) |
44 I
После подстановки в (.1.117) значений коэффициентов а4о, а<н> а22 получаем следующее расчетное уравнение:
aow 0 + ai (wq + w 3) + a 2 (w 2 + w 4) + a 3 (w 5 + ' w 6 + w 7 + w 8) -f-’
.4 * a 4 (Wg W n ) —f—05 (W io 4 ~ W12) -)- a 3 (W j3 —f—W15) —f- CX7 (W j4 -(-
‘ wi6)4~ cc8(wj7-j- Wig) -f- a9(wi8 4" w2o)— (uoqo 4“ M-i (qi 4" 4з) 4~
+ 1*2(42 + 44) 4 ; Из(qs 4 - Чб 4“ 47 + 4s) 4 - ; 1^4( Чэ + 4 п ) 4~
(*5 ( 4 1 0 |
ж |
(1.118) |
4 - 412) ] h X• |
При втором варианте загружения правая часть уравнения (1.118) записывается так:
[Рч> Чо + Рт (Ча + Чс) + |
P'2 (Чь 4 - Ча) 4 - P3 ( 4 f 4 " |
4g + Qh4~ 4k) + |
4- p-4 (4i |
4- Чз) 4- Р-б(Ча + 4i)]hx |
(1.119) |
Коэффициенты а имеют следующие значения:
Pi Ра(2Рз —
+ 50
70 |
|
|
|
|
( 1. 120) |
аа = — 5856 - |
2880 |
—3480 |
Pi Рз(7рз~Д2 Pi) 4 |
||
Р,Р3-4Р§ |
+ |
||||
|
|
|
|
||
1 дд °2 Pi(a4 Pi—Pi P2~p4P§v-5aa P] р;) |
_ |
|
|||
|
Pi P22PI |
|
|
|
|
a, = — 5856 ia. - |
2880 |
— 3480 |
|
|
+ |
45
|
Щ Ц - % $* + т - 5 Щ |
1, |
||
+ 56 |
а1 V а* |
|
___________ Д2 |
|
|
|
?lPr -2Ц |
|
|
|
= |
1440 |
Рз. |
|
|
|
|
а2 ’ |
|
а4 = |
2028Pi + |
1560 |
PiРз (2р3—д2 Pi) |
|
PiP»-4PI |
|
|||
а2 f+д4 Р?—Pi Pj+4P2—5д*Рх p3)
- 2 8 - PiPa- 2Рз
a5 - |
2028™ + |
1560- 'PiР.-4Э5 |
|
28 |
~ (-7 - — f 1 + 4?i — 5 ^ |
\ |
|
c l * \ a * |
a 1 |
/ |
|
|
|
PiP3- 2P§ |
|
a 6 |
= — 288 ?!— 360 ^ з(2Рз a2P-)..»4 |
|
PiP3- 4P! ‘ |
, g g2Pt(»* Pf—P, P,+4p|- 5a2?<Pa) .
P1P2 2рз
«7 |
— 288 b l _ |
36J |
PiP2- 4p§ |
|
a4 |
|
46
|
|
r2 / Y2 |
?. Р * + 4 Р 1 - 5 ^ |
||
+ |
8 - |
а4 |
Pj Pa—2PI |
а2 |
|
|
|
|
|
||
(X8 — 21 P| -f- 30 Pi Рз(2?з-«2Р1) |
a» p>(a«p,^-pipi,+4pj-5a»p1p3) |
||||
|
|
P1P2— |
|
PA-2P! |
|
а9 = 21 |
|
?2 Рз(2рз— |
|
|
|
+30 • |
|
|
PiP2-2p§ |
||
|
|
PA-4PJ |
|
||
Значения коэффициентов p: |
|
|
|||
а) первый "вариант загружения |
|
||||
[х0 = |
7 3 2 |
- 3 0 0 |
р, °--Р.,+ Р з ~ |
2Рз(1 + |
а2) + |
|
|
|
P1P24PI |
^ |
|
38рз (а*Р, + ^ ) - б ( « 4Р? + “ ) — 64Р§
PiPa —2Р!
1^1=4 40 рз °3Рх-2Рз PiРа—4Pjj
6а2 Р,Р2 + я4 Pi — Pip2 + 9Р3
+
Р1Р2—2р§
^2 = 4
Р2 —2aa Рз PJ2-4P?
Р2 Рз
а2
(1.121)
47
|
- б ^ + ^ |
|
- ^ |
+ э Р ! - * 2! |
|
|||||||
+ |
|
а2 |
а4 |
Р1Р2 2^з |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2(4 |
|
«aPt + |
~ - 5 P . |
|
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
№ - 2Р§ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.. |
_ • Юрз(2рз—а2 рх) |
|
, |
|
5а2 PiPa—а4 Pf+р,р2—4р| |
|
||||||
Г4 — --- ~ --- 777-------1--- |
Pip2—2р§ |
|
|
|||||||||
|
Р1Р2 4Р| |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
.. |
_ |
10р3 (2а2 р3—р3) |
|
, |
|
|
||||
|
|
ь |
_ |
“ |
а -4И |
+ |
|
|
||||
|
, |
а |
‘ |
|
|
а4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PiP22p§ |
|
|
1 |
|
|||
б) |
второй вариант загружения |
|
|
|
||||||||
|
1»0 = |
912 — 1200 р3 |
* |
Ь ± |
Ъ |
= |
$ ? 1 1 ± ! ' \ |
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
РхР2-4Р^ |
|
|
||
608Рз(а2 Р1+ - ^ ) - 9 6 |
|
<х4Р, + |
— |
— i216 р |
|
|||||||
+ |
|
|
|
|
Р1Р2 |
2Р3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
64 |
|
1ор3(«2 рх-грз) |
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Р1Р2—4р§ |
|
|
|
|
|
|
-6*а Р1Р,+ а « Р !-М в- еа71 + 9Р2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Р1Р2 2р§ |
а2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P'2 = |
64 |
|
ЮрзСРг —2а2 Рз) |
+ |
, |
(U 2 2 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Р1 Р2—4р| |
|
|
|||
48