Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
|
|
— |
6 Рг Рз + ^ - Р А - ^ Р . Р з + ЭР! |
|
|||||||
|
+ |
|
а4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Р1Р2—2^ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
* |
«* Pi + |
^ - 5 P S |
|
|
|||
|
|
(i3 = 3 2 |
|
|
Р1Р2 |
2jJ| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
_ |
4Q Рз (2§з —д> Pi) |
|
I Jg5aa Pi°3—<**Pi+Plp2~ 4p3 . |
|
||||||
|
|
|
P.Pj - |
4?§ |
|
|
|
PiP2-2 p ! |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
Рз(2^Рз-Рз' + |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
PiPa-4Pr |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
16- |
|
|
a* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1P2—2p§ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для изотропной пластины коэффициенты а и p упрощаются |
||||||||||
и имеют следующие значения: |
ahx |
|
|
||||||||
|
для прямоугольной сетки hy = |
|
|
||||||||
|
aо |
|
|
|
|
+ ^ i _ i 0f2- a * + A _ |
1 |
||||
|
|
|
a4 |
|
|||||||
|
|
|
|
a* |
3 V |
a4 |
|
||||
- |
x)] +70h |
“‘ - 5*!+3>+ i |
a |
- |
Ц-+3) |
|
|||||
04 |
= |
— 5856 — 2880 — + |
1160(2 - |
as) - |
56a2(a4 ■ |
|
|||||
|
|
|
|
|
a* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
5a2 + |
3); |
|
|
|
(1.123) |
|
|
5856 |
— + 1160 (2 -a2) - 5 6 — f— |
' |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a4 |
|
|||||||
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
a4 l a4 |
|
|
1440.
«3
49
а4 = |
2028 - 520(2 - |
а2) + |
28а2 (а4 - 5а2 + |
3); |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
2028 |
520/ „ |
|
|
|
|
|
“5 |
а* |
в’ \ |
± } + Ш г ^ + 3 У |
|
||
|
|
|||||
а6 = |
—288 + 120 (2 - а2) |
- 8а2(а4 — 5а2 + |
3); |
|
||
а8 = 21 - 10(2 - а2) + а2(а4 -5 а * + 3);
Значения коэффициентов р: . а) первый вариант загружения
Но = 6 9 6 - 138а2 - ^ |
+ б(а4 + |
- Ц ; |
а 2 |
\ |
а* ) |
Pi = 4 ^ ( 2 — а2) + 6а2- а 4 + -L - 8 ];
, , = 4 [ f ( 2. > - l ) + A _ J r + „' , 8 j .
(1.124)
^3 = 2 (5 — аа - - ~ \ ;
Р-4 = - т К - 2 ) - ( 5 а 2- а 4- 3 ) ;
О
50
б) второй вариант загружения - |
|
|
ji0 = 1728 - 1008 а* - 6U8 |
+ 96^а4 - |
- L ); |
14 = 6 4 ^ (2 — а*) + 6а*—а4+ |
8 j ; |
|
f t -64[-£<2«>-l)+ A - - L +a. _ 8 ] i
(1.125)
■>. = 32^5 — «« — -i-J;
(а*-2)-16(5«* - « ‘ - 3 ) ;
|
Для квадратной сетки |
(hx = h y = h ) уравнение |
(1.118) запи |
|||
сывается в следующем виде: |
|
|
|
|||
1900 w0 — 752 (wi + w2 + |
w3 -f- w4)+ 144 (w5 + w6 + |
w? + w8) + |
||||
+ |
148(W 9+ Wio + |
W] j—[—W]2) — 16 (W13—|- W14 1 W15 J Wi6)-f* Wj7-j- |
||||
+ |
w 18 + w 19 + |
wJ0 = |
-^-[1596q0 -j- 136(q4+ |
q2 + q3 + |
4<) + |
|
|
|
|
oUL) |
|
|
|
|
+ 18(q5 + q6 + |
q7+ qe)— 13 (qg + qio + qn + |
qi2)]. |
(1.12G) |
||
Правая часть уравнения (1.126) при втором варианте загру жения имеет вид:
[336q0+256 (qa+ b b-fqc+bd) +288 (qf+qg + bh +
•oUL/
qk) — 88(qi + q2+ q3 "b qO]- |
(1.127) |
51
§7. Реализация граничных условий
вуточненных конечно-разностных уравнениях
При использовании уточненных конечно-разностных операто ров граничным условиям можно удовлетворять либо точно (вдоль всей линии), либо приближенно (многоточечное удовлетворение между основными узлами сетки).
В первом случае, используя полином (1.116), находят некото рую функцию (тоже в виде полинома, но одной переменной), вы ражающую те или иные граничные условия. Для точного удовле творения граничным условиям необходимо приравнять ж нулю коэффициенты, стоящие при переменных. Из полученных таким образом уравнений находят значения законтурных ординат.
Приближенное удовлетворение граничным условиям, в отли чие от того, как это делается при использовании обычных конеч ных разностей, можно осуществить дискретно не только в основ ных узлах сетки,: попадающих на контур, но и в ряде промежу точных узлов.
Так, например, на участке 8—4—7 помимо основных узлов сетки граничным условиям можно удовлетворить еще в узлах а, Ь, с, d. При этом находятся значения законтурных ординат wi2> wie, w20 (рис. 7t а).
При составлении граничных условий для угловых зон (рис. 7, б) помимо основных узлов, попадающих на контур, со ставляются. условия для промежуточных узлов a, b, с, d.
Для углов отверстия составляются комбинированные уравне
52
ния. Порядок их 'составления--следующий: 'сначала -составляется'
конечно-разностный оператор с уменьшенным шагом сетки _h
2
для узла 0, исключается законтурная ордината ws из условияравенства нулю смешанной производной, исключаются все .про межуточные ординаты, не попадающие в'узлы основной -сетки.' Эти ординаты находятся из зависимостей, описывающих точнограничные условия для участка 0—1—9 и 0—4—12.
Таблицы для законтурных ординат при различных условиях, опирания приведены в статье [41].
Пример. Квадратная пластина, два противоположных края: которой шарнирно оперты, а два других жестко защемлены. На грузка равномерно распределенная. Нумерация и раоположе-ние- узлов сетки -показаны на рис. 8. Составив для узлов 1, 2, 3, 4 уточненные конечно-разностные операторы и исключив значения законтурных ординат, пользуясь таблицами, приведенными в [41], получаем -следующие уравнения:
|
|
|
|
|
С |
О |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
14 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
10 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
'/ / / / У |
/ / / , |
'/ / / У |
/ / / / , / |
/ / / |
/ / / / / |
'/ / / / / / / / А |
_______________ *______________ |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
15 |
11 |
7 |
|
|
4 |
|
3 |
|
4 |
|
7 |
°11 |
°15 |
|
°13 |
°9 |
°5 |
J |
|
о |
|
1 |
|
ГУ |
I ' |
|
5 |
9 |
13 |
|
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
. |
О |
О |
О |
|
||
15 |
11 |
7 |
) |
|
|
3 |
|
I |
|
7 |
11 |
15 |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 77777777/7 7 7 /7 7 7 / 77777/7/7777777 1_____ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
с |
h |
t |
h т |
т |
h я |
h ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
10 |
|
12 |
|
|
|
|
|
6 |
I |
> |
319,793 w4 — 840,106 w3 — 742,512 w2 + + 972,121 W! — 36 -jj ;
—615,621 \v4 + 303,620 w3 + |
1890,218 w2 — |
- 725,084 w, = 72 |
^ ; |
|
D |
1 ( 1.128)
—1608,636 w4 + 2658,128 w3 + 318,652 w2 —
937,335 Wi = 72— ;
D
2563,884 w,[ — 776,085 w3 —901,066 w2 +
151,372 wi = 72
Решив систему (1.128), находим
w t = |
0,490 HiL4; |
w2 = |
0,362 |
|
D |
|
D |
W» = |
0 ,2 8 5 ^ ; |
w4 = |
0,213 |
Прогиб в центральной части, выраженный через размер стороны квадрата
w 4 = 0,00192 — ,
D
что совпадает со значением, приведенным в [54].
54
Г л а в а II
РАСЧЕТ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА)
§ 1. Основные зависимости
При решении задач изгиба пластин с учетом деформации сдвига необходимо удовлетворить двум дифференциальным урав нениям [54]:
DV2V2 w = |
q - — - — - V2q; |
||
|
|
10 |
1—v |
V2 ф - |
10 |
0. |
|
— ф = |
|||
|
|
62 |
|
Здесь б —толщина пластины; |
|
|
|
v —'коэффициент Пуассона; |
|
||
q — интенсивность |
распределенной нагрузки. |
||
Функция гР определяется равенством [33]: |
|||
* = |
1 0 \ |
ду |
дх I |
Т |
|||
Силовые факторы могут быть найдены по формулам:
++
\ dxs дуг ) 5 дх 1 — у 10
.. |
. |
d 2 w \ |
8а. d Q y |
|
8а |
|
М У - — D ( ду* 1 V дх 2 ) + 5 ду |
1 - v |
10 q; |
||||
|
|
д2 w |
( d Q х+ d Q , |
|
||
Мху — (1 |
V)D |
дх ду |
lo ld y |
дх |
|
|
Qx = |
^ V2Qx_ D ^ L |
Б* |
dq |
|||
10(1 —v) |
dx |
|||||
Vx |
10 |
|
дх |
|||
Qy = |
|
D dVaw _ |
82 |
dq |
||
T7rV2Q |
д у |
10 (1 - v) |
dy |
|||
|
Ю |
|
||||
(2.1)
( 2.2).
(2.3)
(2.4)
(2.5y,
( 2.6)
(2-7)
( 2.8)
5>