Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

— In (

f \i0 Д r) Kn fa (io + 1) Ar];

 

 

Sc =

In fa Oo +

1) Ar] K„ ^

i0 + y )

Arj

 

- I

n[^(io

+

у )

Лг]Кп fa(Ie + l )A r] ;

 

Rc = In

( Io +

y ) Arj IfCn ( r i i0 A r) —

(2.119)

 

— In faio A r) K„

y j Ar

;

 

При удовлетворении граничным условиям необходимо от функции ф находить соответствующие производные, входящие з выражения для силовых и деформационных факторов (2.24) — (2.30).

Для этого можно воспользоваться известными формулами для дифференцирования модифицированных цилиндрических функций:

у In ( x ) = y t l n - i ( x ) + I n+ i ( х ) ];

(2.120)

^-K n(x) = — i-IK n -^ xJ+ K n+ itx)].

§5. Об одном варианте решения задач изгиба пластин средней толщины

Известно [52], что решение задачи об изгибе пластины сред­ ней толщины можно сзести к интегрированию двух дифферен­ циальных уравнений:

D va Vs w = q — y y y V 2'q;

(2.121)

D v23C= q-

(2.122)

с учетом соответствующих гранитных условий. Здесь 6 —толщина пластины;

91

v — коэффициент Пуассона;

w —функция прогиба пластины; X— функция сдвига.

Граничные условия имеют следующий вид: 1. Для грани, параллельной оси Y,

а) шарнирно опертый край

w = 0; Му = 0; х = 0 ;

б) защемленный край

w = 0; ср? = 0 ; х = 0;

в) свободный край

Му = 0; Ry = 0; Q у = 0.

2.Для грани, параллельной оси X,

а) шарнирно опертый край

w — 0; Мх = 0; х = 0;

б) защемленный край

w = 0; фх = 0 ; х — 0;

в) свободный край

Мг =0; Rx = 0; Qx ■0.

Входящие в граничные условия силовые и деформационные ^факторы определяются следующими соотношениями:

Мх

D p w

 

v *w \ _

(8+v) D

 

 

+ v * 1

,\

\d y 2 '

 

д хг j

1 — v

4 0 \d y 2

Лс2 /

 

 

 

 

 

V

О2

 

 

 

(2.123)

 

 

 

1- v ' ю’4’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Му = — D 'd2 w

,

д2 w

(8 + ^ Р

У (

д *

г, V

,

 

,дх2

'_Г

ду2

1 —v

40 \

дх2

ду2

)

 

 

 

1-

v

 

 

 

(2.124)

 

 

 

 

 

 

 

■92

Qx =f= — D ;

d y

Ч

Qy =

- D ^ L ;

 

 

 

 

 

 

 

0X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8 + v) D

8=

 

 

 

 

 

 

1-- N

4U d y 3

 

 

 

 

 

 

52

dp

 

 

 

 

 

 

 

ю "^7 ’

 

 

 

 

 

 

 

(8 + ») D

8s Гд3 x

 

 

 

 

 

 

1 — v

40 [ dx3

 

 

 

 

 

 

d q .

 

 

 

 

 

 

 

d k

’

 

M x y =— D (1 - v)

d2X

 

(8 + v)D __8= .j _ ,

d * y . .

 

d x d y

 

1— -v 40

 

d x d y 5

 

dw

+

8 +

м

o2 . i i

 

 

 

dy

1 -

ч

40

dy

 

 

d w

+

8 4- v

O2

. JLd

 

 

dx

1—

V

40

dx

 

 

(2.125)

(2.126)

(2.127)

(2.128)

(2.129)

(2.130)

(2.131)

Решение уравнения (2.121) будем искать в виде (1.64). Получим следующее конечно-разностное уравнение:

24(a4 + a 2+ l) w 0 — 2(8a4 + 5a2 —3)(w, + w8) — 2(8 + 5a2 —

— 3a4) (\V2 + w4)— 4 (a4 — a2 + 1) (W5

 

г

w6 -j- W7 -f Ws) +

+ 2(2a4 — a2) (wg +

w n)-f 2(2 — a2) (\Vio+

Wi2) + (a4 +

-f-a2) (W13 -j- W14 + wjg -f- Wi6)+ (a2 +

1) (W17 +'Wig -f- W19 + w2o)= ,

6a4 h4

1h2 (1

Л

, ,

2-V

4o +

*D

-

- “ 2 )

1—-v

 

 

т ---------- --

93

 

 

8»

2 —v

(q2+ q4)-

(2.132)

 

 

10 <*2h*

1 - v

Решение уравнения (2.122)

можно искать в виде полинома

X = goo +

giox +

goiy + glixy +

g20X2 + g02y2 + g2 lX2y +

gi2xy2 +

gsoX3 +

g03y3 +' g22X2y2 + g40x4 +: g04y4.

(2.1 33)

Рассмотрим область пластины, ограниченную прямоугольни­ ком'5, 6, 7, 8 (см. рис. 9, б).

Выразим коэффициенты gjk полинома (2,133) через значения функции х в узлах 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (9 условий) и подчиним полином (2.133) уравнению (2.122) во всей области за исклю­ чением узла 0 (4 условия). Эти коэффициенты имеют следую­ щие значения:

 

 

 

goo —-

Хо)

 

 

 

 

g10hx =

3 -

~ |(Х з -

Ъ

 

)

~ (Хб~ ~ Х8 ~

 

 

- ъ + xe) — ~(q3-

qi) hi;

 

g,i a hx =

-^-[2 (3 — a2 )(x, — Xt) +

a2 (Хб +

Хб —

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.134)

 

“

X7

Xe)] —

(q»

q4)a2hr,

 

 

g «

« h i =

— Xs +

Xe — Xt + Xe)'>

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

g20 hl =

24 aa [4(1 — 6a2 )x<> +

2 (6a2 -r- l)(xi +

Xs)-

h |

— 2 ( x 2 + X<) + (Xs + Хб + Хт + X s )] ~ ^ ^ ( Ч г —

 

 

— 2q0

+ q3);

 

 

 

g»2a* h | = “

-[4(a2 - 6 ) Xo — 2 (6 — о? КХ2+ Х 4»“

 

 

— 2a2(xi 4- Хз )+

 

 

 

+ *2 (Xs +

Хв +

Хт +

Xs) -

-^ j-(4 2

-

2q0 + A i);

g 2i a h| =

- j [2 (x4 -

X2)

- (X t +

Xs — Xs — Xb) fc

g 12a*hx = - j -

[2(xi — Xs) — (Xe — Xe — Xt +

Xs)];

gso hx3 =

~

[ — 2(xi — Хз) + (Xb -

Xb -

Xt +

(2.134)

h4

+ Xs)]■+" j^*(43 — <ix);

g03«3h |=

-J [-2 (X 4 ~ X2) — (Xs +X6 — XT — Xs)l +

 

<*■ h* ,

 

.

.

'

 

+ 1 i5 ~ (q2 ~

q*);

 

 

Ч22 ®2hx =

- j - [ 4Xo — 2(xi +

X2 +

Хз +

X«) +

Xs + X e +

 

4

 

 

 

 

 

+ Хт +

Xsl;

 

 

4«ohx =

r r r [— 4Xo + 2(xi 4* X2 + Хз + oa) - Xe —

 

24a*

 

 

 

 

— xs — n — xs] + ^ К чх — 2Чо + Яз);

95

g<)4a* hi — — [— 4^0 + 2(xi + Хз + Хз + x J — X&“

(2.134)

“3 hl

Ч*)-

Xe — X.7 Xs]+ 24 d ^ 2 ~

Удовлетворяя уравнению (2.122) в центральном узле рас­ сматриваемой области, получаем расчетное уравнение

2 0 (а2

+

1) Хо ■+■

2 (5а2 — l ) ( x i -f- X») "Ь

2 (5 — °у)( Х2

+ X*)~Ь

+

(!-(-

а)2 ("/.5

+ Хб +

X? +

Хв) = (8<4о+ 4i

+ q2 +

Чз +

 

 

 

 

 

 

 

+

q4)

^ -

 

-

 

 

 

(2.135)

Силовые и деформационные факторы в конечных разностях

определяются зависимостями:

 

 

 

 

 

 

 

 

МУ. -

 

-

■ЙГ ~ -

'T S S T T ( 4 | ° _ 6 ’!) +

 

 

+

+ 2[а2(6 -

V )'- 1](хх +

х ) +

2[V(6 -

<Х2) -

 

1](х, + Хч) +

+

(1 +

 

va2)(X s +

Хо +

Хт

+

Хв) |

 

- -

(

[

2 4 +

48а3 —

— 450а4 -

a?v (450 -

48 а2 -

24a4)]w0 -

[(12 +- 32а2 -

240а4) +

 

4- a2v (24 + 160“)] (wx -f W3) — [(16 -f'24a2) — a2v (240 —

- 32a2 -

 

12a4]] (w, +

w4) +

[(8 +

16a2) + a2v(16 + 8a2)] (w5 +

+ w0 -f- w7 -j-

w8) -{- [a2(8 —

15a2)

+ 4a°v] (w9 +

Wu) -[- [4 —

 

—a2v(15 — 8a2)](wio-]- W12)—(4a2+ 2a6v) (W13 + Wn-f

 

-f- W15 -j- \У]б) — (2 + 4 a 2v) (W 17 -(- W[8 + W1 9 -}- W20) } —

 

(8 + v ) ( l+ v ) o 2

 

 

vo'z

,

( l+ a * y ) h 2x 1

|

(8+y)52

 

 

240( 1—v)

 

1 0 (l-v )

'

 

45

J 40 +

[480(1- v )

 

hh

( 4 i +

4 s)

+

v

(8+y)52

 

hxa2

(q2+ q4);

(2.136)

 

480(1—■*)

 

 

90

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

96

Смотрите также файлы