Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

( 8 + v ) о 2 D

Ry = 160(1-v)a2hx2 j^2v (Хз X i) — v (Xs — X7 ) ~ (4 — v) (xe —

~

*«)] ~

'24a4h3x' { — (18 ~ 52a2 — 24я4 + 38«2 v)(Wj — w8) -

— (12 — 28a2 4- 20a2 v)(w6 — w6 — w7 4

w8) -+- (4a2 — 12a4 +

 

+ 4«2 v)(w9 — Wu) — 2a2 (1 — v)(wi3 — WH — W15 + Wie) —

— (3 — 2a2 + a2 v) (w17 — Wi8 — W19 -f W20) ) +

\

 

------

 

 

 

 

 

J

L 80(1—v)hx

 

 

 

”4"] (4J

qs);

 

 

 

(2-137)

 

_ (8 1'^77(x6-X 6 + X7 — Xs)---- 0

[ — 10 (w5 — we +

 

 

160uhx

 

24ahx

 

 

 

 

+

W 7 — Wg) + (W 13 — W 1 4 + W i5 — w16) -f- (W 17 —

W is +

W 19 — W20) ] ;

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.138)

 

Qy =

— r ~

- [(6a2 — 2)(хз — X i) — Xs + Xe +

X7 -

Xe].+

 

J

12a2 nx

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ^ - ( q » - q i ) ;

 

 

 

( 2 . i3 9 )

?y =

 

[(6a2_ 2) (Zs -

X.) -

X5 +

X6 + X7 -

X8] +

4 - ^ ^ - [ ( 6 + 8a2—40a4)(Wj— w3) — 4(1 +

a2 )(w6 — w6 — w7 +

+

Wg) — a2 (4 — 5a2 )(w9 — Wjj) +

2a!(wi3 — W14 — wJ5 4- w16) +

+

W l, _

W „ -

w „ + WM] + [ £ £

-

 

] ( q . -

q . ):

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.140)

Силовые и деформационные факторы с другими индексами (для грани, идущей параллельно оси у) записываются анало­ гично.

Конечно-разностная аппроксимация граничных условий имеет следующий вид:

4. Зак. № 173

97

а)

шарнирно опертый край

 

 

8— З ч

в*

а2 )хо + 2

(6

а2 — l)(Xl + Хз) — 2 (Хг +

I —v

[4(1 — 6

480а2hx

 

 

 

 

 

!

 

[(24 + 48а2 — 450а4)w0 —

+ Х4)

+ Хб + Хе + Ъ + Хэ] + 180а4М

— (12 -I- 32а2 — 240а4)(wx + w3) — (16 + 24а2 )(w2 + w4) 4 8(1 4-

+

2а2 )(w 6 + We +

w7 + w8) + a2 (8 — 15a2 )(w„ +

w „ ) + 4(w10 +

+

w ia) — 4a2 (ww f Wm+

w15

+ w16)— 2(w17+ w 18

+ w19 -j- w20)] -1-

 

+ [ « й

- . ‘ в ~

m

] <2q“ - q. - 1»)

= <>■

 

 

w =

0;

x = 0;

(2.141)

 

б) защемленный край

 

 

 

 

(8+v)B*

[(6a2— 2)(хз — X J — Xs + Xe + X.7 -X s] +

 

,480a2hx( l—v)

- [ ( 6 -f-8 a2 — 40a4)(Wj — w3)

— 4 (1 4

a2 )(w5 — w6

60a3hj

 

 

 

 

 

 

4- W8) — a2 (4 — 5a2 )(wg — w^) + 2a(v 13

''14

 

 

Wis +

4- w17— Wig w19 + W 2 o )] + 8+^

55hx

- £

30

r

L)

M <

1 -v

480D

 

 

 

W7+

wie) +

h - <0; b )

w =

0;

x = 0;

(2.142)

в) свободная грань

 

 

 

d M v

d Mxv

(2.143)

My = 0; Ry = ^

-

+ 2 —— = 0; Qy = 0.

o x

d y

 

Значения силовых факторов выражаются через функции w и Х

по формулам (2.123) — (2.133).

По этим формулам на ЭЦВМ были рассчитаны квадратные

98

пластины с различными условиями опирания. При этом было принято б = — ;

v = 0,3; hx = — ; q = const.

4

Результаты расчетов приведены в табл. 3.

>В этой таблице сравниваются прогибы пластины в центре с соответствующими прогибами тонкой пластины (wT).

Вычисления сопоставляются с решениями по С. А. Амбарцу­ мяну [6].

Условия

опирания

Все грани шарнирно оперты

Две грани Шарнир­ но оперты, две жестко защемле­ ны

Все грани жестко защемлены

 

 

Т а б л и ц а 3

 

Р а с ч е т ы

 

для тонкой

предлагаемым

по С. А.

пластины

способом

Амбарцумяну

1

1,20

1,21

1

1,45

1,42

1

1,74

1,63

 

 

(толстая

 

 

плита)

Г л а в а III

РАСЧЕТ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

§ 1. Метод конечных элементов

Настоящая глава посвящена методу конечных элементов как в обычной, так и в уточненной постановке [16, 17, 36, 38].

Применяемые в этой главе приемы составления расчетных уравнений несколько отличны от традиционных [4, 21, 32, 56].

На первый взгляд может показаться, что избранный нами подход, отступающий от вариационного принципа составления

4*

99

уравнений, мало оправдан. Однако при сопоставлении их с урав­ нениями, полученными другим методом, наряду с недостатками выявился и целый ряд преимуществ такого подхода. Решение задачи изгиба анизотропных пластин или пластин переменной жесткости энергетическим методом ведет к громоздким выклад­ кам при составлении матриц жесткости. Это связано с появле­ нием ряда дополнительных жесткостных характеристик. Приме­ няемый в работе прием оказывается удобным для некоторых вариантов уточнений аппроксимирующих функций.

Кроме того, составленные применительно к изгибу пластин уравнения хорошо согласуются с уравнениями метода конечных элементов, описывающих плоское напряженное состояние, что важно при расчете пластинчатых систем.

Рассмотрим квадратный (или прямоугольный) элемент ани­ зотропной пластины (ом. рис. 13 а). Уравнение изогнутой поверх­ ности примем в виде следующего полинома [22]

w = а00 + aI0x + aoiy + auxy -f а20х2 + а02у2 + а2]Х2у +

-f ay>xy2-f а 3оХ3 +

а03у3+

a?ix3y-f- ai3xy3-p a22x2y2.

(3.1)

Для того чтобы принятый полином удовлетворял дифферен­

циальному уравнению

изгиба

анизотропной пластины

(при от­

сутствии внешней нагрузки), необходимо соблюдение следующе­

го соотношения, вытекающего из подстановки

(3.1)

в

уравне­

ние (1.63).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После элементарных преобразований получаем

 

 

 

 

a22h* —

 

Pie

 

1Д«

 

(3.2)

 

 

За31 h4Du+2Dee

3 aJ3 h4Di2+2DM

 

Выразим теперь коэффициенты полинома (3.1) через проги­

бы и углы

поворота

узлов

1, 2, 3,

4 (ом. рис. 13 а)

элемента

( h x = ' h y = h ) :

 

 

 

 

 

 

 

а0о —

4

3Di6

ЗРгб

1 / Wi +

W3)4-

 

 

 

8 (Di24-2Dee) +

8(Dia-(-2D66) J

 

 

 

+

 

 

3Di6

3Dae

 

 

 

(3.3)

4

8(Di2+2D6e)

8(D12+2D68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

D26

 

<Рз)

h -

 

 

 

 

 

16

(Du + 2D66) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

16 (D „ + 2D„) ]* 9 ‘ 't , ' h + [ l 6 "*■ 16 X

х <т ж г ] № - й )1 , + [ ^ - - й- х

x p ^ k r ] (T!-?!)h!

3

1

( — <p? + ¥ ? -

aioh = — ( — ■w i — w 2 +

w 3 4- w 4) + —

 

— ?! +

— <pi - <pj

-

 

- д а ;

 

a 0i h =

- f ( — Wi

+ w

3 +

w 3 — w 4) - j - ( — <t\ -

<p* —

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

— 4 l

 

 

 

й

+ t ?

-

«

+ <pJ)h;

 

an h2 =

2 (wi -

w2 +

w3 — w4) +

— (<p* 4 - 9X— ?!

 

 

-

Й + 9 ? — T i - T I

+ T j)h ; ,

•

a 20h2 — —

Г-

Die + Dae (Wi — w2 + w8 — w 4) —

 

 

2

 

Dla +

2D6,

 

 

 

 

 

—

+

-------------------iVtpY _

?y)h

 

 

4

Г

4

Dla +

2DeJ VYa

 

Yl/

 

 

D„

 

 

(?г -

n 2 ) ь +

-4f -

D,

 

4

Dla + 2D6e j

Dla+2D(•( -

 

 

 

 

 

 

9a +

9з +

9*)h'>

 

а0гЬ2 = -----

 

Die 4- D M ! Wi -

w 2 + W3 — W4) —

 

 

2

 

Dia -(- 2DJJ

 

 

 

 

Due

Dla-j-2Dee

Смотрите также файлы