Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

102-

(3.4)

>J

(3.5)

(3.6)

В частном случае для изотропной пластины эти уравнения запишутся так:

(3.9)

Разбив область пластины квадратной сеткой, запишем полу­ ченные уравнения для всех основных узлов н узлов в центре квадрата (или прямоугольника).

Если IB узлах действуют сосредоточенные силовые факторы (силы или моменты), то в правой части уравнений (3.4) — {3.9) нужно добавить соответствующее значение прогиба или угла поворота пластины, жестко защемленной по контуру и за­ груженной сосредоточенной силой или моментом.

103

Для того чтобы 'сократить общее число .неизвестных, можно» записать уравнения для объединяющих элементов, и тогда для узла 0 (см. рис. 9, б) получаем

Объединение элементов можно произвести и по другому прин­ ципу.

Нетрудно заметить, что принятый полином соответствует ли­ нейному распределению интенсивности поперечных сил на кон­ туре квадрата (Di6= D 2e = 0 ).

Рассмотрим четыре квадратных элемента (hx t= h y= h ), при­ мыкающих друг к другу (см. рис. 9, б). Предположим, что по линиям их примыкания действует внешняя линейно-распреде­ ленная нагрузка с максимальным значением q0 в узле 0.

Используя выражения для интенсивности поперечных сил на гранях, примыкающих к узлу 0 элементов, и учитывая условия равновесия, получаем следующее уравнение [34]:

36w g — 12 (Wi -{-! W2 -f-; W3 -J- W4 ) -(- 3 (W 5 -(- \ \ -6 -f- W 7 -)- w8)- f - 5

+ 4(cpf — ?! + ?! — ?!) h + у ( — ?! — ?! + ?! + ?! + ?! —

104

§ 2. Граничные условия

Рассмотрим область пластины 1, 2, 3, 4 (рис. 13 а). Соста­ вим уравнения, описывающие наиболее характерные граничные условия.

105

106

также и для . случая, когда примыкающие к узлу 0 пластины

имеют различную жесткость, а также прямоугольное очертание в плане.

Помимо внутриконтурных узлов уравнения равновесия мож­ но также, записать и для узлов, лежащих на контуре пластины. Это позволяет в угловых 'зонах удовлетворить граничным усло­ виям не только в основных, но и в промежуточных узлах.

Уравнения' (3.13)—(3.15) нетрудно также применить при ре­ шении плоской задачи, теории упругости (плоское напряженное

•состояние, плоская деформация). При этом удобно использовать рамную аналогию. .С этой целью на пластину наносится сетка (прямоугольная или квадратная) и записываются уравнения равновесия для всех внутриконтурных узлов. Вместо производ­ ных и самой функции на контуре необходимо подставить их зна­ чения, подсчитанные на основании рамной: аналогии.

Уравнения равновесия (3.13) —(3.15) могут быть использова­ ны и при расчете пластин, если на контуре заданы угловые и линейные перемещения.

•§ 3. Конечный элемент криволинейной формы

Рассмотрим элемент, ограниченный двумя дугами окружно­ сти и двумя радиусами (криволинейный прямоугольный элемент,

см. рис. Ш).

Решение дифференциального уравнения изгиба, записанного в полярных координатах, принимаем в виде бигармонического тригонометрического полинома

w pe = а00 + а10 р cos® + а« р sin ©+ au р2 sin ©cos ©+

4- а2а р2 cos2 ©+ а02 р2 sin* ©+ a2i р3 sin ©cos2 ®+

107

Коэффициенты этого полинома выразим через' линейные и угловые деформации в узлах элемента. (Прогиб и угловые де­ формации в центральном узле элемента определяются следую­ щими зависимостями:

w0 = <ч (wa + wb) + oc2(wc -f w d) + a3(cp0 + ср0)Лг +

Значения коэффициентов' a;, 3h у, приведены в приложении.

§4. Метод конечных элементов

вплоской задаче теории упругости

Рассмотрим конечный элемент квадратной или прямоуголь­ ной формы, выделенный из пластины, «находящейся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 13 б).

При отсутствии объемных сил нужно удовлетворять двум уравнениям равновесия:

Будем «искать решение этих урав«нений в виде полиномов:

u = а 00 + а 10х + а 0 1у + а 1Хху + а-20х2 + а 02у2 + а 21 х2у -f

-fa 12ху2 + а 30х3 + а„3у3 + а22х2у2 + а31х3у + а 13ху3 + а04у4; (3.27)v

v = Ь00 + b 10* + Ь01 у + ЬХ1ху + Ь20х2 + Ь02у2 + Ь21 х2у +

108