Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
Найдем теперь линейные и угловые перемещения в начале координат, выразив их через значения деформаций в узлах пря моугольника. Получаем
|
и о = |
— |
(U i + |
u 2+ u 34 - |
u 4) |
Н— ^ |
^ |
|
' |
(Vj |
— v2 + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 (1—v) |
|
|
|
|
|
||
+ |
v3 — v4)- |
|
|
| |
- |
|
1+-V} (0 J — fl; — 0^ |
+ |
6^)hx |
+ |
(3.31) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 a (1—v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2а3-1-И |
|
(®i — 0^ - |
0^ + fljjah, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0= |
|
1 |
, |
|
|
|
, |
|
, |
4 , |
(1+v) (a2—1), |
|
|
, |
|
|
||||
|
— (Vj+ v2 + v 3 + v4) + ~ — — ^(Ui— u24 -u3 — |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16a3 (1— v) |
|
|
|
|
|
||
- |
u.) |
+ |
|
|
|
|
32a3 (1—v) |
|
|
( Jj + |
8; _ e; _ er)at,x + |
|
(332) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2—a2-f a2v |
(0V + |
0V _ |
ev_ev)hx; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
( |
- |
|
+■ |
1 -v |
|
|
(—Uj.4- u2 -f u3 — u4) — |
|
||||||||||
|
|
|
a*[(l+v)2-4] |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
- |
— (— + |
---- ------------ ) |
• |
(0; + |
0“ +- 0“ -f |
0“)ahx |
f |
|||||||||||||
|
|
|
4 ( 2 |
|
|
|
a*[(l+v)*—4] / |
|
' 1 |
|
3 |
з “Г |
4/ |
X T- |
|||||||
+ |
— 4 -(1.."2). |
|
[2(VX+ |
V2 - |
V3 — |
V4) |
+ |
(0; + |
0J + 0V + |
ej)hxJ; |
|||||||||||
|
8 [(1-f v)*-4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.33) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0Jhx = |
|
4 |
|
1 |
|
+ |
— ——1 (—v4 — v2 -f v3 4- v4) |
-----—[ -— |- |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
(l+ v)2- 4 j |
|
1 |
2 |
3 ^ |
|
4/ |
4 L |
2 |
||||
|
3(1 — v)a3 |
|
-1 • |
(0; + |
e; + |
e* + |
0^)hx н------ — |
1 2 (Uj |
|
||||||||||||
-и — |
v)a3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
(l+ v )* - 4 |
|
J |
|
v |
1 |
s |
|
3 |
|
* ' |
X |
8 e[(l+ v)» -4] |
l |
|
||||||
|
|
|
|
- u2 — u3 + |
u4) + (0? + 0“ + |
0ц -ь ejDahj |
|
(3.34) |
|||||||||||||
113
Здесь
д у I * — ® |
’ |
у=0 |
У = 0 |
(3.35)
При решении задач рассчитываемая область покрывается прямоугольной (или квадратной) сеткой и для каждого ее узла составляется но четыре вышеприведенных уравнения. Исполь зование этих уравнений особенно удобно, если на контуре пря моугольной области заданы перемещения.
■В дальнейшем намечается использование полученных реше ний для составления уравнений, которые объединяют четыре, примыкающих друг к другу элемента различной толщины. Меж ду этими элементами могут быть ребра, образующие некоторый плоский каркас.
§5. Уравнение метода перемещений для стержней
сучетом примыкающих к ним изгибаемых пластин ('конечных элементов)
Рассмотрим пластинчато-стержневую систему. Представим ее как состоящую из перекрещивающихся стержней и примыкаю щих к ним пластин (конечных элементов).
Предположим, что в пределах каждого элемента-пластины нагрузка отсутствует и передается в виде сосредоточенных сило вых факторов только в узлах перекрестной стержневой системы.
За исходную расчетную схему примем плоскую стержневую модель (балочную клетку), образованную путем исключения
пластинчатых элементов.
При расчете такой системы помимо внешних узловых нагру зок будем учитывать передающиеся со стороны отброшенных элементов все возникающие на их гранях распределенные сило вые факторы, выраженные через линейные и угловые перемеще
ния углов квадрата.
Для каждого элемента в качестве функции прогиба можно принять бигармонический полином (3.1) i[22] (агг — 0), в . силу чего интенсивности изгибающих моментов и приведенных попе речных сил на контуре элемента изменяются по линейному за кону. В этом легко убедиться, подставив соответствующие про изводные,, найденные из полинома (3.1), в уравнения для момен тов и поперечных сил.
114
Найдем узловые значения интенсивности приведенных попе речных сил, действующих «а гранях элемента 1—4 и 2—3 (см. рис. 13 а)
(hx = hy = h).
Q i ~ |
4 |
=Q2-3 = |
— |
[6w4- |
6we + 3 ? J h |
+ 3 9 J I1 + |
||
+ |
(2 — v) (3Wj — 3w2 + |
3w3 |
3w4 + |
2 cp>h — |
||||
|
|
— 2 <рУh — cpgh -f- <py h]; |
(3.36) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q i |
1 — Qx |
— |
гг |
[— 6 W3 -f- 6w4 + |
3 <pg h -j- |
|||
|
|
|
|
П 3 |
|
|
|
|
|
+ |
h + |
(2 — v) (— 3w4 4- 3w2 — 3w3 + |
|||||
|
|
+ 3 w 4 - |
cpyh + |
cpyh + |
'2^h - 2?Jh)j. |
|||
Отыщем также интенсивности изгибающих моментов на гра нях элемента и сосредоточенные реакции по углам:
Мх 2 = -----— [(—3wi+3w4—2(p5[h—(p^[h)-fv(3wi—
п2
— 3W aH -<p?h + 2q>* h )];
М2-1 = — [(—3w2+3w3—2<pXh—<p?h)-j- +v(3Wj—3w2—wfh-f- 2*5 h)];
M 4x- 3 = — -^_[(-f-3wi—3\v4-)-<p?h-l-2(py h) +
+V (3w3—3w4—ф l h—2ф5 h) ];
Mx~4= - - ^ f(3w , - 3w8+ ?;h -f295h) +
+ v ( - 3w3+ 3w4 + 2Ф|Ь+ф*11)];
My = |
— [(—3wi-J-3w2—2q>fh—Ф5 h)—J-- |
115
|
+ v ( —'3wi~b-3w4—2<p£h—<pjh)]; |
(3.37) |
|
My-1 = — — |
[(3w3—3w4—qp*h—2фJh) + |
|
|
|
h 2 |
|
|
|
+ v(3wi—3w4-j-i(pJ h-J—2ф^ h) ]; |
|
|
M2“3 = — |
[(3w1-3 w 3 + cp^h+24>Jh) + |
|
|
|
v(—3w2 + 3w3—2 tp| h—*Рз h) ]; |
|
|
My~2 = — ^ |
l(—3w8+3wt+2<p5h+<p*h) + |
|
|
|
+ v (3w2—3w3+cp| h -f-2<p| h)]; |
|
|
|
2D |
|
|
Vj — —■——-(1—v) (—WJ-J-W2—W3 + W4—<pf h+< |
|
||
|
n2 |
|
|
|
+Ф 4 h—<p{h+<p£ h); |
|
|
|
2D |
|
|
V 2 = — T 7 ' ( 1— v ) ( — W i+ W 2 — W 3 + W4— < p f h ~ ? | h — |
|
||
|
ha |
|
|
|
|
— tP { h 4 - ? I h ) ; |
(3.38) |
Vs = |
2D |
|
|
|
|
||
---- — (1—v) (—■wi+w2—W3+ W4—<p?h — |
|
||
|
— <pj h—<p3x h+<p* h); |
|
|
V4 = |
2D |
|
|
-----— (1—v) (—w i+w 2—w3 — w4—<p*h-f |
|
||
|
ha |
|
|
|
+ |
<P*h+cpyh—(p^h); |
|
Итак, на остающийся после отбрасывания конечных элемен тов стержневой каркас будут передаваться распределенные по перечные нагрузки, изгибающие моменты и сосредоточенные ре акции, возникающие в углах элемента.
Каждый отдельный стержень такого каркаса будет находить ся под действием линейно изменяющихся распределенных сило
116
вых факторов, поперечных сил и моментов, вызывающих скру чивание стержня.
Обратимся теперь к формулам метода перемещений для стержней, загруженных распределенной нагрузкой, полученной
нами ранее |
(1.32) —(1.35). |
|
|
|
|
||
При действии линейно-распределенной нагрузки они упроща |
|||||||
ются: |
|
|
|
|
|
|
|
м .ь = |
|
(2Т. + Tt- 3 ^ a L ) - |
|
. |
|
||
Mb. = |
S |
(2?1 + 9, - з Л ^ ) + е 3 1 ± М ! С ; |
(3.39) |
||||
|
|||||||
|
h |
\ |
h |
/ |
|
60 |
|
Qab — -------- ( 3»а + |
w b- w a |
)+ |
(7qa+3qb)h |
|
|||
3'fь— 6 |
|
20 |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.40) |
Qba = |
_ |
“ I fe?a + |
3?b - 6 |
|
- |
(3qa+7qb)h- |
• |
|
|
ha V |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2mb+ m a)h |
|
|
|
(3.41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
У |
a |
b |
‘bз |
- |
III 4 ■4 |
IV |
|
f f |
.,0 |
|
f |
|
|
A* |
|
H
-
a>
m
4h
a
Рис. 14
117
Рассмотрим теперь ива элемента abed и abef, примыкающие к стержню ab (рис. 14. а). Учитывая их воздействие на стержень, нетрудно получить формулы для концевых 1Моме«тов, для чего вместо qa и qb, входящих в (3.39), подставим их значения из
(3.36):
м,ь = 4 |
(2?: + » ; - 3 |
|
|
16(8 - |
|
— |
v) w a —{- 6 (2 —j—v )w b — 3(2 4 |
v) ( w d + |
Wf) — |
||
— |
3(8 — v) ( w c+ w e) 4 |
8(2 — v).cpy h — 2(2 — |
|||
— v) ?y h 4 |
9(cp* — <p*)h 4 |
6(©* — ®*)h — 4(2 — |
|||
|
— v) (<py + ©y)h + |
(2 — v) (<pg — epph]; |
|||
|
|
|
|
|
(3.42) |
|
= S . (2 t!+ ? ! _ 3 - a = b . ) |
+ £ |
i - 6(2 - |
||
— v)wa — 6 (8 — v)Wb + |
3(2 4 |
v) (wc+ w e) 4 |
|||
4 |
3(8 — v) (Wd + Wf) — 2(2 - |
v) < ? l h + |
8(2 — |
||
-т у) ®gh + (2—v)(tpj+ aph — 4(2— v) (®£ + ®ph+
+ 6(®* — ©*)h 4 9(®f — ®*)h].
Учтем теперь кручение боковых ребер, находящихся во взаи-
•модействии с примыкающими к ним пластинами. Так, например, на ребра ас и ае будут передаваться моменты, изменяющиеся в пределах каждого стержня по линейному закону. Краевые1 значения этих моментов можно определить по формулам (3.42). Подставив их значения в (3.41), получим
М КР _ |
}кр |
_ |
а у\ |
D |
(2 4 |
v) wa — 2wb 4 |
ас |
ас ' *а |
|
*с' |
|
||
( 1 — v)we - |
wd 4 -J- |
|
h 4 4 |
h 4 y < ? lh 4 |
||
|
|
|
o |
|
3 |
|
|
|
|
<гфh 4 |
1 |
(3.43) |
|
M kp - |
iKP СзУ__ |
ae |
ae '* a |
(2 — v) wa — 2wb 4 (1 — v) we —
118