Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 0
где интеграл берется |
по любому кусочно-гладкому пути на // |
||
соединяющему точки / " |
и X |
. Определение функции £ коррект |
|
но в силу (//</) . Пуоть (ty |
|
№ и |
|
Определим производящую функцию |
g |
формулой |
|
Здесь - £ - ая компонента функции .Предотавляем
читателю в качестве упражнения проверить, что формула действительно определяет производящую функцию и что, определенны таким обраэом, производящие функции согласованы
2) Необходимость. Пусть ^ - действие на /f 1
e /
и- некоторая замкнутая кусочно-гладкая ориентированная
кривая на / ] |
. Разобьем f |
на отреэки |
|
|
|
|||||
так чтобы для любого с |
|
|
такая карта |
C^^.j |
||||||
существовала |
|
/J- |
|
|||||||
что |
С |
ty/i; |
• Обозначим через |
|
начало отрезка / ] • |
|||||
а черев |
- его конец, так что |
|
|
|
|
|
||||
Пуоть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим: интеграл |
... |
* |
*V*« " |
|
J |
|
||||
/е
* if£
- 60 -
Ив определения производящей функции следует, что
Таким образом
]i^it |
- |
/ 7 |
с-А:// . |
пусть г;, |
^м^^^с^^м^^^) |
Введен обозначение:
Предоставляеи читателю самостоятельно убедиться, что не зависит от (указание: воспользоваться согласованностью
производящих функций и определением преобразования Лежандра). Итак,
^ 21 />у = £ f <Г&) - lfif*j/= 0J
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь семейство лагранжевых цн.а.гаоо'рааий
fA%tCo,rJ > ™ Л'~ ЛЛ* А - WW по тра
екториям гамильто'новой системы с гамильтонианом А/ (см. замеча ние посче теоремы 9). Пусть Л% V* ) канонический
- 61 -
атлас многообразен АТогда, если 7* |
достаточно |
мало,то |
|||
77 |
Z/ |
¥ ) |
" канонический атлао многообразия |
||
Iе |
л у>7^'',..# |
|
|
|
|
» |
Уб |
€ f&Tj |
-.Воли |
/у - Двйотвив |
|
на |
(соответствующее атласу |
, то сопо |
|||
ставив каждой карго |
&t - J£ 27л канонического атдаоа многообра- |
||||
вне // |
функции 5^ |
,.. / О ^ |
|
|
|
удовлетворявшув уравнении Гамильтона-Якоби |
|
|
|||
|
|
|
/а |
= - lie. |
о.-ЭЬ |
и начальному условию |
|
V |
|
||
|
|
|
|||
получим действие иа А, соответствующее атласу (Щь |
Jyt =* /,. |
||||
Этот факт доказывается аналогично теореме 12. 8аметин, что урав (//<) рассматривается в области € £ 7~of ?1/
(Ь. |
/U£fS."4' |
|
|
а начальное условие |
(//?) |
в области |
Z/a . Доказатель |
ство существования • единственности решения такого локального ва рианта задачи Копи ничем не отличается от доказательства для "
бального11 |
варианта, приведенного в § 3, а именно: функция |
5^, |
||||||
определяется интегрированием обыкновенного дифференциального |
урав |
|||||||
нения вдоль.траектории гамильтоновой оистемы. |
|
|
||||||
|
Пример. Положим |
/7 = 1. Пусть А" - прямая /> =• - ^ |
|
|||||
Рассмотрим канонический атвао, состоящий ив двух карт: f |
/I' |
|||||||
* |
(Л, |
¥г) , где |
(ffj |
= £ y>zf?J7>)=P |
Очевидно, |
|
||
# |
Ф |
"=//, ' / Л |
К &) = |
' |
в |
ячестве дей |
|
|
ствия на yj ° можно выбрать; - 62 -
Пуоть /^fft/*)= |
^ + Т |
Решением системы Гамильтона |
о начальными условиями
будет следующая пара функций:
Таким образом, многообразие / ) |
есть прямая, которая получа |
|||
ется из прямой И |
поворотом по часовой стрелке на угол |
|||
Канонический аглао |
|
|
|
f^l^J |
существует при О^^^л; |
при |
£ |
~ ^ обрав прямой |
|
при проектировании на пряную /> |
=• о |
i |
состоит иа одной т |
|
Решая задачи Ноши |
|
|
|
|
£ fa) = /
- 63 -
находим действие на И , соответствующее атласу (//$)
Решение задачи (//jj |
не существует при £ ? |
^ |
, в то |
|||
мя как решение задачи /1° |
существует при £ z |
jrf~ |
Это |
|||
ветствует тому факту, что хотя атлао |
существует лиш |
|||||
6 |
,' атлао, |
полученный из (//#) |
удалением карты (/I |
|||
существует уже при |
с |
|
|
|
|
|
|
Рассмотренный пример показывает, что целесообразно ввест |
|||||
некоторые "правила перехода" от действия, |
соответствующего о |
|||||
ному каноническому атласу на |
/I } ъ действию, |
соответству |
||||
другому атласу, при выполнении которых эти два действия с бы согласованными. Естественно потребовать, чтобы согласованн действия были связаны преобразованием Лежандра. Таким образ приходим к следующему определению.
Определение. Пусть на дагранжевом многообразии |
А задан |
||
2действия: Д;/,=/,...,// |
« |
/7 |
|
соответствующие каноническим атласам |
|
|
|
Дейотвия f&ij и f SyJнааовем эквивалентными, если система производящих функций {^c'J &f^/J Д ~ ствием на /I
Пусть
|
ССоГ? |
овивисгво |
лагранжевых многообра |
||
зий, получаемых из А"' |
сдвигом вдоль траекторий гамильто |
||||
оистеиы:'. / - /T Л |
Пусть /-SjJ |
-действие на И |
и ^ |
||
- действие на И |
, полученное иа f£!a/ |
с помощью |
реше |
||
системы задачи Коти (//б)/ |
Q/?J |
Обозначим через У* |
|||
|
- 64 - |
|
|
|
|
клаос действий на |
И & |
эквивалентных |
действию |
У$УУ |
L |
|
|||||||||||
Определение. Семейство |
У<УУ |
|
назовем |
действием |
|
|
|||||||||||
на оемейотве |
У^ Уttco,Tj |
|
лагранжевых |
многообразий. |
|
|
|
||||||||||
Теперь мы можем обобщить постановку задачи Коти |
|
|
|
|
|||||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обобщенная |
задача |
Коши. Пусть |
Л |
- |
лагранжево |
много |
|
||||||||||
образие, |
У |
- |
класс |
эквивалентных |
действий |
на нем. Найти |
|
с е |
|
||||||||
мейство |
лагранжевых многообразий |
/Л^У |
i получаемых |
из |
/f |
° |
|||||||||||
Сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой системы с данным гамильто |
|
||||||||||||||||
нианом |
/ 7 |
и действие |
/ |
У У |
на |
этом |
семействе, |
удовлет |
|
||||||||
воряющее |
условию |
|
У |
= |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведенное |
обобщение задачи |
fyfe) |
естественно. Дей- |
|
|||||||||||||
сввительно, пусть |
У&*У^)сег^'£г7 |
семейство |
карт |
на |
|
|
|
||||||||||
причем, |
|
г/*=/£^г/с< |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
/^У6 |
ё £•/ |
£ j |
|
|
~ семейство производящих функций |
|
||||||||||
карт fl/^У) |
|
|
- соответствующее |
решению |
/У У |
обобщенной |
|
||||||||||
задачи |
Коши. Тогда |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
является |
решением |
уравнения |
Гамильтона-Якоби |
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема |
14. |
|
Пусть |
/ / |
|
связно. Тогда решение |
обобщенной |
|
|||||||||
задачи |
Коши |
существует и |
единственно. . |
» |
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. Для решения |
УУ |
|
У |
обобщенной |
задачи |
|
|||||||||||
Коши справедливо следующее интегральное представление. Пусть |
|
|
|||||||||||||||
ft/ |
(/У |
|
- |
каноническая карта |
лагранжева многообразия |
/1 |
^ |
||||||||||
и S Т |
- |
производящая |
функция карты |
|
(^Уу* соответствующая |
|
|
||||||||||
дейотвию |
Уу |
^ / |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- 65 -
Вдесь f7 |
- путь в fen •/ |
- |
мерной пространстве ^ |
* |
|
о координатами |
(ftj .. у ?л |
^ . ; |
/ f ^соединяющий точки |
|
|
а |
некоторая константа, |
определяемая из условия ^ |
° jr-Jf |
||
Деили доказательства предоставляем читателю в качестве упражнения.
- 66 -
ГЛАВА I I I .
Функциональные пространства и неограниченные линейные операторы
Мы рассмотрели важный клаос уравнений в частных производны первого порядка - уравнения Гаыидадона-Якоби.Это были, вообще го воря,нелинейные уравнения. В дальнейшем мы будем изучать линей ные дифференциальные уравнения второго порядка. Такие уравнения описывают широкий клаоо явлений, для которых справедлив принцип суперпозиции: линейная комбинация двух решений снова являетоа р шением данного уравнения. Ряд общих овойогв линейных дифференц альных уравнений изучает теория линейных неограниченных операто ров в банахов IX пространствах.
§ I . Функциональные пространоява
Рассмотрим множество непрерывных ограниченных вещественных
C
или комплексных функций с общей облаотьв определения _ Q £ . На этом множестве обычным образом вводитоя структура линейного про ранотва. Определим нор?лу функции ^- форк/дой,*
Полученное линейное нормированное пространство функций обомачмн Q f_Q_) . Пространство С является банаховым, его полнота вытекает иэ того, что сходимооть функций по норма (I) является равномерной сходимостью. Согласно известной теореме анализа, рав
номерно |
сходягааяоя последовательность ограниченных непрерывных |
|
||
функций |
имеет пределом ограниченную непрерывную функцию. • |
р |
||
Банаховы пространства |
(S2-) |
(?>г' -пело**-Q-^R |
|
|
открытое множество) определяются аналогично |
|
|||
Самоопределяется формулой: |
|
|
|
|
- 67 -