Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
о точностью до произвольного постоянного слагаемого. В качест мокно выбрать функцию, которая получается из - о пом преобразования Леяандра:
Функции |
|
и £ 4 |
называются производящими функциями поверхнос |
|||||||||
ти И . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема х2. Пусть А |
- лаграняева |
поверхность, |
диффеоморф |
|||||||||
проектируется на плоскооти |
^ о |
и /5-<? |
, причем любой з |
|||||||||
нутый путь на |
А |
непрерывно стягиваем в точку. Пусть пр |
||||||||||
d ё /~O^J |
|
|
поверхности А |
~У£А" |
обладает тем яе сво |
|||||||
ством.Тогда |
существуют два таких оемейства, |
производящие |
фун |
|||||||||
поверхностей |
|
, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где J? |
- |
преобразование Леяандра по первым |
переменным; |
|||||||||
б) функции |
/5 |
и S |
являются решениями уравнений Гами |
|||||||||
тона-Якоби |
|
(t) |
и |
соответственно. |
|
|
|
|
||||
Доказательство. Пусть |
р |
—» X |
(fi) |
и |
/> |
(Р) |
|
|||||
две производящие функции поверхности А |
, связанные |
преобразо |
||||||||||
нием Леяандра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f-SbfJ- |
|
|
°?{£, |
|
|
|
^ при |
/> - |
V6a |
(fij |
||
Тогда в качестве искомых фикций £ |
и S |
мокно |
выбрать |
ние задачи Ноши (/) , (2) и решение задачи Коши |
соотве |
||
ственно. Доказательство утверждения |
|
|
|
а) оледует из единственности решения вадачи Коши для ур ния Гамильтона-Якоби и того, что {So,^} ^ cff^^f-}
при р = |
|
Cfi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) |
|
§ 9. Канонический атлас лагранжевого многообразия. ' |
||||||||
Обобщение постановки задачи Коши для уравнения |
||||||||
Гамильтона-Якоби. |
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
А |
- лагранжево многообразие, X £/I |
- некоторая |
|||||
точка этого многообразия. Пусть |
|
- открытая окреот |
||||||
ность точки X |
в фазовом пространстве |
к |
, причем часть |
|||||
= _£} О/I |
многообразия А |
задаетоя уравнением |
|
|||||
*. ягс-ш |
„у cg:J">, s-<,•••,"• |
|||||||
|
|
|
S |
|
с - у, . .. j /?. |
|||
Определение. Пара |
(fy |
называется картой многообразия |
||||||
Семейство (tyy |
^A^es |
|
карт |
многообразия А называется |
||||
атласом этого многообразия, |
если |
|
|
|
||||
Согласно теореме 8 |
/7 |
|
существует такая карта ( tX |
|||||
лагранжева многообразия А |
, что Хё I/ |
и |
& - / |
есть ото |
||||
бражение проектирования на плоскость вида (б$) |
|
|||||||
Определение. Назовем атлас |
/ ^ j , %ах\е£ |
лагранжево |
||||||
гообразия |
// |
каноническим, |
если |
|
|
|
||
|
е & любой замкнутый путь, лежащий в |
непре |
||||||
рывно стягиваем в точку по Z/, |
|
|
|
|||||
х) В данном параграфе мы предпочитаем вместо термина "лагран поверхность" использовать термин "лагранжево многообразие", который был ранее введен как синоним первого.
г
б) £ $ отображение есть проектирование на плоокооть вида (6$) .Карты, входящие в каноничеокий атл назовем каноническими.
Ясно, что любое лагранжево многообразие обладает канонич ким атлаоом. В оставшейся части этого параграфа для простот
дем предполагать, что рассматриваемые лагранжевы многообразия
ют канонические атласы, состоящие из конечного числа карт
заведомо верно для компактных многообразий) и без дополнител оговоров рассматривать только такие канонические атласы.
Пуоть ( 2 ^ |
(faj - каноническая карта лагранжева много |
образия / / |
, причем |
- |
o.-t |
|
ил*,-,',;) |
|
' |
||
Навовем производящей функцией карты |
У) |
такую бесконечно |
|||||
йяфференцируемув функцию |
<Sa |
, |
, определенную на &-j> |
~^^<г) |
|||
ртровцяруошув функции |
|
определенную на |
у |
|
|||
я ЧТО
Легко покавать (ом.лемму предыдущего параграфа), что произво щая функция любой канонической карты существует и определена о сочностью до произвольного постоянного слагаемого.
Пусть (fya |
tya) и Z/y |
fyj |
- две канонические |
|
многообразия / } |
, |
и t5^, - производящие |
карты лагранжева |
V |
|
|
функцию этих карт. Пуоть
" Ъ.-, |
у * * |
Н |
- 58
Назовем производящие функции S. и |
согласованными, |
|||||
если для любой точки |
|
Z/^/lZ^, |
ростки i^i/nJ |
У# |
||
я f-Sy, |
S ^ ( X |
) / получаются друг из друга с помощьюпреобразова |
||||
ния Лежандра по переменным, |
не совпадающим в правых чаочях^фя^з) |
|||||
Пример. Пусть А=3 , |
С % = |
(ftj ?г /оJ |
|
|||
^Ja'ff^J |
= |
($*,fi |
/%) |
Производящие функции^ Sj, |
и <5> |
|
будут согласованными, |
если в окрестности любой точки |
|||||
ft" |
^ |
выполняется |
|
|
||
|
|
равенство |
|
|
||
г д в и (Yi ?з |
Я |
/ |
определяются на системы урав-;* |
|||
нений |
|
|
|
|
|
|
Определенно. Пусть / I |
- лагранжево многообразие, обладаю |
|||
щее атласом |
УС — |
(Ц* Уа)^ = ^ ..0 // |
Систему производящих |
|
функций £4 ^ |
= ^...ЛА/ |
карт атласа УС |
назовем действием на |
|
многообразии |
А |
, если любые две производящие функции не |
||
8той системы согласованы. |
|
|||
Теорема 13. Действие |
на лагранжевом многообразии существует |
|||
тогда и только тогда, когда |
|
|||
для любого кусочно-гладкого замкнутого пути/^ на многообразии А
Доказательство. I ) Достаточнооть. Пусть условие (//У) выпол
нено. Без ограничения общности можно предположить, что А связа но (в противном случае доотатс^о построить действие на каждое
связанной компоненте многообразен А |
) . Пуоть |
-проивЕОЛьЕ?? |
|
точка многообразия А и S - функция на А |
, определенная |
||
формулой; |
Sfr)= |
|
|
|
К" ~ 59 |
- |
|