Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
да J = ( j i , J 2 ) . . ^ ' » ) , l j |
I - S |
J,' , D = |
-ЩГ^и |
Элементами пространства С |
Ц 2 ) |
являются те функции -f- |
|
определенные и К pas непрерывно дифференцируемые на_Г2- ,дд
0 0
которых l l - ^ l l l O ^ j <
§ 2. Пополнение линейного нормированного пространства. Процесс пополнения линейного нормированного пространств
является общим и удобным способом построения банаховых п ранств.
Пусть 5Z - произвольное линейное нормированное простр Определение I . Назовем две фундаментальные последовател
т и ^ ^ ^ и {У„| элементов из Э^. эквивалентными, если
при П —»• Таким образом в множестве всех фундаментальных последовате
тей элементов пространства 2 ! введено рефлексивное, симме ное и транзитивное отношение, т.е. отношение эквивалентност (транзитивность этого отношения следует, из неравенства тр ника: если и У ? и - ^ Н ^ О , то
Введенному отношению эквивалентности соответствует разбиение множества фундаментальных последовательностей элементов из
- 68 - |
v |
на классы. Пусть *о£ - соответствующее множество классов. Введем
на |
отруктуру линейного нормированного пространства следую |
||
щим образом. |
|
|
|
|
Определение 2. Пуоть |
- скаляры. |
|
Линейной комбинацией &.(P~LJ$ У |
называется клаоо |
, состоя |
|
щий из всех последовательностей, |
эквивалентных последовательности |
||
|
где Ш б 9 |
, ( 1 Л } ^ , |
|
Нетрудно проверить корректность этого определения, т.е.
фундаментальность последовательности (^^п+^Уи} |
и независи |
||
мом! клаоса )С |
от выбора конкретных последовательностей { f n } |
||
I { У л } " и У |
* |
Y соответственно. |
|
Определение 3t |
Пусть ^^JZTh -^^]-&(р. Норма ^ опреде |
||
ляется формулой |
|
|
|
|
|
Я—оО |
(3) |
Предел в правой части равенства (3) всегда существует, так как 18 неравенства
III % II-U ^1\%^п,Я (*)
следует фундаментальность числовой последовательности -^Ц Wt)ilJ Легко проверить корректность определения (3) я тот фак^," что норна (3) удовлетворяет соответствующим аксиомам.
|
Определение 4. Последовательность {'f^ |
называется стационар |
|
ной, |
если |
|
|
|
Теорема I . Пространство |
банахово. Линейное многообра |
|
зие |
* классов эквивалентности, содержащих стационарные |
||
3
последовательности, изометрически изоморфно^ пространству о£ и
х) Два банаховых пространства Bi ,Вх называются изометрически изоморфными, если существует биективное линейное отображение
/ Ы г - В , |
такое' |
4 1 0 .Uu\\e>^\iuf&slueBj |
. |
- 69 -
плотно в Доказательство. Для доказательства полноты пространства
рассмотрим фундаментальную последовательность классов ^^'J,^'
Для каждого натурального J выберем последовательность { Ч'^
In) '
В силу футдаментальности каждой из последовательностей { fn
для каждого К можно выбрать такое число /7К |
, |
что |
||||
Vm>nK |
II Ч>Л?-ifin™If * Kd |
|
|
|
(Г) |
|
Рассмотрим кдасо |
фе. <3?*, содержащий последовательность |
|||||
Эта последовательность фундаментальна и &т ИФ] —^РII=0 |
||||||
Чтобы убедиться в этом, обозначим |
|
|
|
|
с |
|
|
|
класо, |
содержащийf^j |
|||
онарную последовательность | Ч^^\ Уп*^i |
|
Иа |
^ |
следует |
||
//Ф<_<р(«Ц |
в й т „ t p n < * > |
/ / |
( |
6 ) |
; |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, последовательность {Фп**} Фундаментальна. |
Из |
|
неравенства (б) вытекает неравенство; |
|
' |
// ^ ^ / / 9 > - < Р ' ^ |
|
|
а из неравенства следует, что Vs>0 |
при p>-p(S,K) |
|
В силу фундаментальности последовательности |Я^'/ из (8) и
следует, что
Am НФ-ф*((~0
Полнота пространства |
доказана. |
Из предыдущих раооуждений ясно, чю еоли ф € |
ьС ^-предел |
|
фундаментальной последовательности, |
то существует |
последователь |
ность ^ЯР^^/" | сходящая к |
|
с = |
, такая, что VKР'содер- |
||
иит стационарную последовательность элементов изо2? , Таким об
разом, |
' плотно в |
Следующее отображение ^Zf ~—JC f |
язляетоя, |
очевидно, изоморфизмом и изометрией: |
|
Теорема доказана.
Установленный в теореме I изоморфизм пространств Szf и позволяет в дальнейшем отождеотвлять их элементы. Пространст: о называется пополнением пространства *С .
Пример. Можно показать, что любая измеримая в области интегрируемая с квадратом функция может быть с любой точностью
приближена в среднем непрерывной на IL |
функцией. Это означае |
||||
что пространство Ь% |
(I2-) совпадает о пополнением пространства |
||||
LA2 <К)определенных и непрерывных на IL |
функций, имеющих |
||||
конечную #орму; |
|
|
|
|
|
Таким образом получаем определение пространства |
|||||
§ 3. Соболевские |
пространства |
|
|||
Рассмотрим линейное пространство S |
бесконечно дифферен |
||||
цируемых на R |
функций |
У |
, удовлетворяющих условию . |
||
Vp±,~'.,pn;и |
|
SUP |
\&^nnl\ |
. \ м ф ° ° т |
|
т.е. убывающих со |
воеии обойми |
производными быстро» зябок отри |
|||
цательной отвпеян |
|Х| |
при |
М;** |
. В час;. |
•••*?-„ |
ранотву S принадлежат вое финитные бесконечно диффэр^";v
функции.
Для каждого натурального К введем в пространства 3 н
му о помощью формулы
ц у Л = J1 |
? % ) Г - д и ! к ? Ы Л к , |
а з ) |
|
где Л 3 ? "77;г |
и авеэдочка означает комплексное сопряжен |
||
Определение. Соболевским пространством VJ^lR. |
) называ |
||
ется пополнение пространства S |
по норме^(12). |
|
|
Задача. Доказать, что пространство |
-гильбертово. |
||
Пространство |
мы будем также обозначать символом |
||
Данное обозначение оогласуетоя с определением пространств Lx
данным в § 2, поскольку всякую непрерывную функцию |
|
о |
||||
тегрируемым на R |
квадратом можно о любой точностью приб |
|||||
в среднем финитной функцией F^-S |
. Мы не останавливаемся |
|||||
казательстве этого факта. |
|
|
|
|
|
|
Формула (2) имеет смысл и в тон случае, когда |
/с" |
- |
||||
отрицательное число. Рассмотрим линейные пространства |
S |
|
||||
( С ~ натуральное) функций У , предотавимых в виде |
|
|
||||
У=(-Ь+1)*Ч>, |
V e |
д . |
|
( 1 3 ) |
|
|
Покажем, что для всякой функции |
У £ S1^ |
функции |
о |
|||
вначно находится ив (13). Очевидно, достаточно рассмотреть
чай С=1 |
.Пуоть {-Д + 1)У> =(-ДтА)Ц> Тогда для функ |
}~У-\р |
имеем |
(~й+1}} = 0 |
(14) |
Из (14) следует, что Sj%)(~bHyU)elx |
~0 |
'Интегрируя по частям, Получаем равенство