Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

и

tgcc,

если

t g a ^ -О (угол

а

оканчивается

в I

— tg а,

если

tg а <

или

III

квадранте),

во

0 (угол

а

оканчивается

II или IV квадранте).

У (sin а +

cos а )2 =

— (sin а +

cos а),

так

как в III квад­

ранте sin а

и cos а

отрицательны.

У=

sin к;

у = cos х;

y ^ t g x ;

y = ctgx,

не смогли этого сделать для функций

у = 3 sin лс; у = cos 5х; у = tg (х — 1);

у =

ctg х +

| и т . д.

Постоянно

наблюдается путаница

в построении графи­

ков функций

г/ = sin 2л: и у =

sin

Поступающие в вузы

часто утверждают:

«Чтобы

построить

график

функции

у = sin 2х, нужно

график функции

i/ =

sin.* растянуть

у — sin 2х и у = sin

показаны на рис. 2 и З.

sin 2х

4sinx;

cos Зх cos х

Отсюда находят

sin 2х =

0;

2х = kn\

хх =

1 — 2 cos Зх — 0;

cos Зх —

Зх = ±

-2- +

2£я;

',

я .

2Ы

Х2 ~

— Т

3 ~ ‘

Абитуриенты записали

ответ:

х±=

х2 =

z t -5- +

о

теряет

смысл.

2.

данное уравнение

Ошибка появилась

в результате того,

что не была установлена область до­

пустимых значений неизвестного.

35.

При решении уравнений и доказательстве тождеств

часто не учитывались ограничения, накладываемые на

аргумент.

Пример. Уравнение cos 2 L

— cos х =

1

при условии, что 0 < х < -4р

решалось

так:

х

(

,

х

. ,

х \

,

cos ~y

— l^cos2

- у

— sm2-j- J = 1;

COS

----- cos ~2~ ~r sin“~2_ — ’ I

cos 2L---- cos2 ~y

+ ^ — cos2

= 1;

cos

---- 2 cos2 2L. =

0;

cos -g- ^1 — 2 cos -y-j =

0.

Отсюда:

1) cos ~

= 0;

=

- j- +

&я; x —-• я + 2Ы\

2)

1 — 2 cos-|- = 0;

c o s - ^ - Ь

JL = + JL ^ 2 к я \

x — ±

-Щ- -f 4kn.

О т в е т : xx = я (2k +

1); x2 —

(6k ±: 1).

36.

Решение тригонометрических уравнений чаще всего

заканчивалось указанием частного решения или же не­

правильной записью общего решения.

Примеры. 1) При решении

уравнения

sin х — cos х — 0,

как правило, давался' ответ х =

вместо

х =

+ kn.

2)

Решая уравнение

cos (45° — х) = 0,

многие записывали 45° — х = 90°

вместо

45° — х — 90° +

+ 180° &.

3)

Для уравнения

tgx =

/ 3

указывалось значение х =

+ 2kn вместо х =

+ Art.

4)

Общее решение уравнения

1

sm x = - y

записывалось в виде х — ( — 1)* arcsin

+

kn вместо

х — (— 1)*arcsin-^- + kn

или х =

(—

+ kn.

Чтобы не допускать

подобных

ошибок,

надо

знать на

память решение уравнений, приведенных

в табл.

2.

Т а б л и ц а 2

Уравнение

Решение

sin х = т, — 1 < т <

1

x = K(— 1)* arcsin m -j- kn

cos л: = т, — 1 < т <; 1

x — ± arccos m -f- 2kn

igx — m, — оо < /п < 4-оо

x = arctg m -f- An

ctg д: = т, — оо < т <

+ оо

x — arcctg m -f- kn

sin л: =

0 .

II

3

sin д: =

+ 1

n

x = -Tj- + 2Ы

sin х = — 1

n

x = — ~2~ + 2kn

cos * = 0

x =

+ kn

cos x'= + 1

x = 2kn

COS X — — 1

x — я + 2kn

X J2J0

О

II

2Й•

II

3T

ctg x — 0

x =

k*1

З а ме ч а н и е . Решение уравнения

sinх = т иногда выгодно за­

писывать в две строки:

С х = arcsin т -f- 2kn\

\ х — —- arcsin т +

(2k -j- 1) я.

5) Так как sin2 л: —

то х = ± + 2Ы.

5 В. А. Тупиков

45

6) Из уравнения cos2 х =

находим х = ± arccos \ +

+ 2/гл.

sin2х — с,

0 <

с <

1,

х = +

arcsin] / с +

kn\

cos2х = с,

0 <

с

1, х — + arccos]/"с +

Ы\

tg2 х = с,

0 ■< с <

оо,

х = +

arctg I/ с -f kn;

ctg2 х — с,

0 -< с <

оо,

х — +

arcctg У с + kn.

5)

s urx =

smx =

±

х — ± arcsin^-y- +

kn —

= ± - j- + kn\

6)

cos2 х =

cos х =

+

х =

+ arccos ~ -\- kn =

=

±

+ fon;;

7)

tg2 х = 3;

t g x = ± | / 3 ;

х =

± arctgl/"3 +

kn =

=

+

+ kn.