Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Если х и у — любые

действительные числа,

отличные от

нуля и имеют одинаковые знаки, то:

b g a Ш

= loga | х | + loga \у\;

(1)

loga - y

= loga | x | - l o g J i / | .

(2)

При любом значени х ф 0 и четном п

logax" =

nloga |x|.

(3)

Если х Ф 0, х ф 1

и N > 0, то при четном п

\ogxnN =

log^N.

(4)

Приведем решение нескольких примеров с

использова­

нием формул (1) — (4).

Пример 1. Упростить выражение

— 8 log41x ] =

— 3 ■— 6 log41x | = — 3(1 +

2 log4 [ x |) =

= - 3 ( 1

+ 2 log*| — 4)) = — 3(1 +

2) =

- 9 .

О т в e t: — 9.

З а м е ч а н и е .

Абитуриенты,

не зная формулы (3),

получили вы­

ражение 2 log4 х — 3 — 8 log4 х и

сделали заключение,

что оно при

х — — 4 не имеет смысла.

отсюда

lg|x|

= 2; |jc| =

100.

О т в е т :

хг = 100; x2 — — 100.

Если

бы

уравнение

переписали

в виде

2 lg х — 4, то

потеряли

бы корень х — — 100.

27.

Многие затрудняются дать определение такого важ

нейшего

понятия математики, как

область

определения

Определение.

Совокупность тех значений

независимой

переменной х, для которых функция

y — f(x)

определена,

т. е. каждому

значению независимой

переменной х соот­

область определения

функции

'У = V — х + У 4 + *

устанавливалась

так:

1)

— х > 0;

х < 0;

2)

4 + х > 0; х >

— 4.

Следовало заключение: область определения данной

функции х < 0 и д : >

— 4.

уг =

Это неверно.

Следовало решать

иначе.

Функция

= V — х определена

для

значений

х

0;

функция

у2=

=

У 4 —}—ЛГ

определена

для

значений х >

— 4. Следователь-

полузамкнутый

но, общей частью двух областей является

интервал — 4 < л: <; 0.

Он

и

есть

область

определения

данной функции.

Приведем

пример, с

решением которого

не справилась

значительная

часть абитуриентов.

Пример. Установить область определения функции

Р е ш е н и е . Функция

имеет смысл, если

1

— 5

л

^2

„2 А

0

или

х — 5

> 1.

Переносим

дробь в правую часть,

меняем части местами

и приводим члены неравенства к общему знаменателю

X2 — X+ 1

< 0

или

х2 — 4

2

3

+

4

Г)

х2 — 4

U-

Последнее неравенство

справедливо

при

х2— 4 < 0; х2 < 4; I х I < 2;

- 2 < х < 2 .

От в е т :

Область

определения

функции — интервал

■2 < х < 2 .

что приводило к

записям

==cos я — COS X',

cos (л — х)

t g a +

tgP = tg ( a + Р);

s i n ( 2 л: —

1 0)

= sin {x — 5).

29.

Допускались,

как

и в алгебре,

ошибки при сокра

щении дробей.

Примеры.

1)

sin а + cos а — 1

1 +

cos а — 1 = cos а.

sin а

2)

sin а -f- sin 2а — sin За

= tg а -f tg 2а — tg За.

cos а + cos 2а — cos За

Рекомендуем

читателю

найти ошибки

самостоятельно.

] / (sin a -f- cos a )2 = sin a

cos a j no условию я < a <

sin а,

если

sin a > 0

(угол

а

оканчивается

—_

если

sin a < 0

в I или

II квадранте);

* sm а — — sin а,

(угол а оканчивается в

III

или

IV квадранте)