Файл: Мясников, В. А. Программное управление оборудованием.pdf

Из уравнения (VI.9) с учетом начальных условий по скорости

ства.

Если мх — величина аргумента в режиме ускорения, со0 —

величина аргумента, которая была в момент начала режима уско­ рения (она определяется значением скорости в начальный мо­ мент времени), то

Если положить, что аргументом выходных интеграторов схемы, решающей уравнение (VI.2), является величина сох, то будет осу­ ществляться программирование заданной кривой с заданным пол­ ным ускорением W.

27. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим вопрос о синтезе программирующего устройства для станка с программным управлением. По технологическим требованиям максимальная производительность станка обеспе­ чивается, если заданный профиль обрабатывается с максимальной скоростью подачи Vn и ускорением по­

дачи Wn. Наибольшие их допустимые

величины ограничиваются либо свой­ ствами режущего инструмента и обра­ батываемого материала, жесткостью станка и т. д., либо свойствами следя­ щих систем координат станка: макси­ мально допустимыми динамическими токами двигателей, наибольшими ско­ ростями, развиваемыми приводами, и т. д.

Программирующее устройство стан­ ка должно работать таким образом, чтобы обеспечить оптимальное програм­ мирование стайка, т. е. чтобы сигналы,

подаваемые на исполнительные системы привода координат стан­ ка, обеспечивали обработку заданного профиля за минимум вре­ мени с определенной точностью.

Для осуществления оптимального программирования в этом смысле может быть использовано управление аргументом.

Если наибольшие величины скоростей и ускорений ограничены свойствами механической части станка, то обрабатываемый про­ филь разбивается на участки движения с ускорением и постоян­

239

ной скоростью подачи Vn (рис. 128). Для программирования ре­

жима постоянной скорости должна быть решена система уравне­ ний (VI.1), а режима ускорения— система уравнений (VI.6).

Отметим, что минимизация потерь энергии в двигателях для станков на данном этапе их автоматизации не представляет ин­ тереса, так как стоимость электроэнергии, потребляемой стан­ ком, составляет очень незначительную долю от эксплуатационных расходов на обслуживание станка.

В случае, когда профиль описывается кривыми второго по­ рядка, структура устройства, программирующего режим постоян­ ной скорости, будет определяться уравнениями [19]:

% = Ax + BU + D;

Структура устройства, программирующего режим ускорения, может определяться уравнениями (VI.6), но в этом случае устрой-

ство будет очень сложным. Например, в случае эллипса —г +

i_ j r 1 ь°-

величина со в движении с заданным полным ускорением Wn бу­

дет определяться из уравнения

Возможен иной подход к программированию движения с по­ стоянным по модулю полным ускорением [19].

240

Дважды продифференцировав общее уравнение кривой вто­ рого порядка, получим уравнение

жении которых точка движется по траектории, являющейся за­ данной кривой второго порядка. Другими словами, для обеспе­

чения движения по кривой второго порядка вторые производныех и у должны быть такими, чтобы обращать уравнение (VI. 11) в нуль

Кроме большой сложности, программирование по такому ал­ горитму имеет еще один существенный недостаток: начальная скорость движения в этом случае определяется значениями коор­ динат х 0и у о в начальный момент времени, что не позволяет исполь­

зовать эту схему для осуществления режимов разгона от заданной скорости и торможения до заданной скорости1.

1 Если движение по траектории может быть самым различным во времени,

то и силы, действующие на точку в этом случае, также могут быть различными. В классической механике рассматривается движение по кривым второго порядка для одного из возможных законов изменения координат во времени, который однозначно определяет силы, действующие на тела, — силы всемирного тяготения.

Найдем более простой алгоритм, который должен обеспечи­ вать программирование, близкое к оптимальному. Модуль вектора полного ускорения при этом не всегда будет равен максимально допустимой величине — он может быть и меньше ее.

Вначале рассмотрим программирование такого режима, когда из точки (л'о, у о) начинается разгон до точки (хь ул), потом имеет место режим постоянной скорости до точки (,v2, у2), а от этой точки до конечной точки профиля (хк, ук) — режим торможения

(рис. 128).

Участки разгона и торможения невелики, и их во многих слу­ чаях можно полагать прямыми. Для прямой, заданной нормаль­ ным уравнением х cos а + у sin а — р = О,

(VI. 15)

Пусть значение аргумента в режиме разгона соуск будет опре­ деляться уравнением (VI.15). Режим разгона должен продол­ жаться до тех пор, пока соуск не станет равной соск, которая вы­ числяется для обеспечения режима постоянной скорости. Как только шуск. достигнет соск, так аргумент интеграторов начнет управляться в соответствии с уравнениями (VI. 10), а схема, про­ граммирующая режим разгона, отключится.

Оценим погрешность в поддержании динамического режима в режиме ускорения, которая допускается в результате аппрок­ симации участка разгона прямой линией. Положим, что участок разгона является дугой окружности радиусом R; при этом будем

считать, что окружность задана каноническим уравнением. Составляющие ускорения в режиме разгона в этом случае:

Модуль вектора полного ускорения будет

w 2= w \r 2 = w \r 2i\

откуда следует, что наибольшее ускорение имеет место в момент окончания режима разгона, т. е. тогда, когда

где V„ — скорость движения в режиме постоянной скорости.

242

Если Wn — максимально допустимое значение модуля пол­

ного ускорения, то для того чтобы максимальное ускорение, раз­ виваемое в процессе разгона, было равно Wn, необходимо выбрать

в соответствии с формулой

Во все предшествующие моменты режима разгона полное ускорение движения будет меньше Wn. Из формулы (VI. 16) сле­ дует, что \Vn должна быть больше нормального ускорения в ре­

жиме движения с постоянной скоростью, т. е.

Если отрабатываемый профиль не является дугой окружности, то в качестве величины R может браться средний радиус кри­

визны участка разгона.

Режим торможения может осуществляться аналогичным обра­ зом, но он должен выполняться точнее. Если в режиме разгона скорость Vn будет достигнута не в точке (xlt у г), а в какой-то

следующей точке, то мы проиграем лишь в быстродействии, а в случае торможения необходимо остановить обработку точно в заданной точке (хк, ук), поэтому будем полагать, что в режиме

торможения аргумент изменяется пропорционально квадрату

(а2) Уг)’> k — коэффициент пропорциональности.

Таким образом, приведенные выше уравнения определяют все параметры алгоритма, в соответствии с которым управляется аргумент в режиме торможения, за исключением координат точки (х2, у 2), которая должна быть выбрана так, чтобы модуль вектора

полного ускорения в режиме торможения был максимальным, но не превосходил предельно допустимого значения Wn.

Рассмотрим вопрос о выборе точки (х2, г/2) подробнее, для

чего предположим, что участок торможения является отрезком прямой линии, которая совпадает с осью X, и пусть точка х 2