Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

Свойство 4. Для несобственных интегралов 2-го рода справедлива формула интегрирования по частям



Свойство 5.Для несобственных интегралов 2-го рода справедлива формула замены переменной



Следует заметить, что не все свойства определенного интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Так например, произведение 2 интегрируемых, по Риману, на некотором отрезке функций является функцией так же интегрируемой, по Риману, на этом отрезке. Аналог этого утверждения для несобственных интегралов несправедлив.

9. Опишите способы вычисления площади фигуры с помощью определенного интеграла в декартовых координатах. Приведите примеры.

1. Задача о площади криволинейной трапеции

Определение 1. Фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции y = f (x), осью Ох и прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией.
2) Если криволинейная трапеция примыкает к оси Oy, т. е. ограничена непрерывной кривой , 2 горизонтальными отрезками прямых y=a y=b и отрезком оси Oy квадрирема и ее площадь S равна.

1. 
   Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и т.е. кривая y=f(x) и криволинейная трапеция, ограниченная снизу этой кривой, лежит под осью Ox то для вычисления ее площади следует рассмотреть функцию y=-f(x). Эта функция уже не отрицательна и следовательно ее график лежит над осью Ox и симметричен графику функцию y=f(x) относительно оси Ox,а криволинейная трапеция ограничена сверху y=-f(x) представляет собой зеркальное отражение первоначальной трапеции.
   

2. 
   Некоторые части кривой y=f(x) находятся над осью Ox а другие под осью Ox. В этом случае площадь фигуры S представляет собой алгебраическую сумму тех частей фигуры, которые расположены над осью Ox и тех частей которые находятся под осью Ox, причем первые входят со знаком плюс а вторые со знаком минус.
   

---

3. 
   Пусть фигура ограничена снизу и сверху кривыми
   

Y1=f1(x) y2=f2(x)

f1(x) f2(x) – непрерывные функции.

9. Опишите способ вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла в декартовых координатах. Приведите пример.

Объём тела вращения в декартовых координатах

В случае, когда тело получено вращением некоторой кривой y=f(x) вокруг оси Ох (рис.20), в сечении этого тела плоскостями, перпендикулярными к оси Ох, будут получаться круги площади S(x)=πy²=πf ²(x). И из этого получаем формулу для вычисления объёма тела вращения: V=π ²(x)dx

Пример. Найти объём шара радиуса R.

Решение. Шар получается при вращении полуокружности вокруг оси Ох. Уравнение верхней полуокружности имеет вид: R ≤ x ≤ R.

Тогда по формуле для вычисления объёма тела вращения V=π ²(x)dx, будем иметь: V=π ²-x²)dx=πR² - =2 R³- πR³= πR³

---