Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

4. При измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу не возрастает, а нижняя сумма не убывает.

5. = , где

Множество{S} всех верхних сумм Дарбу отвечающих разбиению на отрезке ограничено снизу, а множество всех нижних сумм Дарбу ограничено сверху.

Таким образом, существует точная нижняя грань множества всех верхних сумм и точная верхняя грань

= inf , = sup

– верхний интеграл Дарбу – нижний интеграл Дарбу.

Теорема (Критерий Дарбу) Для того, чтобы существовал интергал от функции на необходимо и достаточно, чтобы были равны верхний и нижний интегралы дарбу = . При этом I= =

9. Сформулируйте критерий интегрируемости по Риману и следствие из него. Сформулируйте и докажите интегрируемость по Риману функции, непрерывной на отрезке и функции, монотонной на отрезке.

Теорема (Критерий Римана) Для того чтобы ограниченная на отрезке (а,b), функция была интегрируема (по Риману) на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы .



Следствие. Если функция f интегрируема, то не только ее интегральные суммы Римана

---

, но также и интегральные суммы Дарбу стремятся к ее интегралу, когда мелкость разбиения λ стремится к нулю.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на отрезке (a,b), то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Ограниченность  на отрезке   следует из теоремы Вейерштрасса.

По теореме Кантора эта функция равномерно непрерывна на отрезке   . Значит, для любого   найдется такое   , что для любых   и   , принадлежащих отрезку   , из неравенства   следует неравенство   .

Возьмем такое разбиение   отрезка   на частичные отрезки   ,   , чтобы   . Тогда   из неравенства   выполняется неравенство .

Отсюда следует, что   .С учетом этого    .

Значит,   и   .

Теорема. Если функция f(х), монотонна на отрезке (a,b), то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Ограниченность  на отрезке   следует из свойств непрерывных функций.

Пусть   возрастает на отрезке   , т.е.   . Пусть   . Возьмем такое разбиение   отрезка   на частичные отрезки   ,   , чтобы

---

 .

В силу монотонности   имеем и   .

Тогда   Следовательно,   . В силу критерия Дарбу   

9. Сформулируйте свойства определенного интеграла. Объясните свойство аддитивности интеграла и особенности вычисления определенного интеграла четной и нечетной функций по симметричному промежутку. Ответ проиллюстрируйте геометрически.

Свойства определенного интеграла:

1. 
   Для любой функции f положим по определению: , а для функции, интегрируемой на отрезка [a,b]: , a
2. 
   
   
3. 
   Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема на [с,d] ⊂[a,b]
   
4. 
   Аддитивность. Пусть a .Если a
5. 
   Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла
   
6. 
   Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме их интегралов
   
7. 
   Если функция f(x) интегрируема на [a,b], неотрицательна(f(x) ≥0) и a ≥0
   
8. 
   Если функции f и g интегрируемы на [a,b], для всех x∈[a,b] f(x) ≥g(x), то , то ест неравенство можно почленно интегрировать
   
9. 
   Если функция f(x) интегрируема на [a,b], a
   
10. 
    Если функция f(x) интегрируема на [a,b], a f(x) для любого x из [a,b], то
    

---

m(b-a) (b-a). Следствие: Если во всем промежутке имеет место неравенство , то |

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [-a,a]  и четна на этом отрезке. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [-a,a]   и является четной, то
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [-a,a]  и нечетна на этом отрезке. Тогда ее график симметричен относительно оси начала координат. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [-a,a]   и является нечетной, то

9. 1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

---

Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении для интеграла Римана, приведите её геометрическую интерпретацию.

Теорема: Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует такая точка ξ ∈[a,b], что , - среднее значение функции на отрезке

Доказательство:

Пусть a ≤ ≤ М

m ≤ ≤ М

m≤ ≤ М

m≤ η ≤ М
Между наименьшим и наибольшими значениями функции по т.Коши о промежуточных значениях функции обязательно найдется ξ ∈[a,b]= η

f(ξ )= , следовательно
Геометрически: для площади криволинейной трапеции ограниченной сверху непрерывной кривой всегда существует равновеликий ей прямоугольник с тем же основание, а высота его равна одной из ординат этой кривой.

9. Введите понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом. Сформулируйте его свойства и одно из них докажите.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b],тогда по свойству 3 она интегрируема и на любом отрезке [a, х], где . Следовательно имеет смысл интеграл:



Функция F определена на отрезке [a, b] и называется интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически функция F(х) представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции , если F(х)>0.

---