Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую правила вычисления производной. Приведите примеры. Опишите свойства дифференциала функции.

Теорема1. Пусть y1=f1(x) и y2=f2(x) – имеют производные в точке х0 и определены в U(x0), тогда у1+у2; у1*у2;у1/у2 также имеют производные в точке х0 и они равны.

(y1+y2)’=y1’+y2’ (1)

(y1*y2)’=y1’*y2+y1*y2’ (2)

(y1|y2)’=(y1’*y2-y1*y2’)/у² (3)

Следствие 1. (с*у)’=c*y’ (4)

Следствие 2. Пусть yk=f_k(x) – имеют производные в точке х0, тогда производная линейной комбинации этих функций существует и она равна (с1у1+с2у2+…+сnyn)’=c1y1’+c2y2’+…+cnyn’

Доказательство:

1 часть. Пусть y1=f1(x), y2=f2(x) – определены в U(x0) и х0+Δс∈U(x0)

Δy1=f1(x0+Δx)-f1(x0) Δy2=f2(x0+Δx)-f2(x0)

1)Если у=у1=у2 то Δу=(у1+Δу1+у2+Δу2)-(у1+у2)=Δу1+у2

Если Δх 0, то разделим обе части на Δх.

(переходя к пределу при Δх→0)

следовательно по определению y’=y1’+y2’, ч.т.д.

Пример. (tgx)’=( )’= =1/cos²x

Правила вычисления дифференциалов.

1)d(y1+y2)=dy1+dy2

2)d(y1*y2)=y1dy2+y2dy1

3)d(c*y)=cdy

4)d(y1/y2)=(y2dy1-y1dy2)/y2²

Доказательство:

Пусть у=у1*у2

Dy=y’dx=(y1*y2)’dx=(y1’*y2+y1*y2’)dx=y2y1’dx+y1y2’dx=y2dy1+y1dy2

6. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции. Объясните её геометрический смысл. Приведите примеры её применения для вывода производных обратных тригонометрических функций.

Теорема 2. Пусть f(x)=y – непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 U(x0) и пусть при х=х0 существует производная , тогда обратная функция x=f^-1(y) имеет производную в точке у0=f(x0) и она равна

Теорема. Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

---

Геометрический смысл теоремы.

df(x0)/dx=tgα

df^-1(y0)/dy=tgβ,уголβ между касательной и осью Оу

Β=π /2-α

df^-1(y0)/dy=tgβ=1/ctgβ=1/ctg( /2-α)=1/tgα=1/

Пример. Y=arcsinx, x=siny, - π/2≤у≤π/2, -1≤х≤1

Применяя теорему 2

Y=arctgx, x=tgy, - π/2<у<π/2

ч.т.д.

7. Сформулируйте теорему о производной сложной функции одной переменной. Приведите примеры её применения. Объясните инвариантность формы первого дифференциала.

Теорема. Пусть у=f(x) имеет производную в т. x₀, функция z=F(y) имеет производную в т. у₀=f(x₀) тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную при x=x₀ и она равна

Ф’(x₀)=F'(y₀) *f '(x₀)

Ф'(x₀)=F'(f '(x₀)) *f '(x₀)



Пример: y=_ex², y’= _ex²*(x²)’= _ex²* 2x

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной). dz=F’(y₀)dy= Ф'(x₀)dx. В этой формуле dy=f ’(x)dx является дифференциалом функции, а dx функцией независимой переменной. Таким образом, форма дифференциала сохранилась (т.е осталась инвариантной): дифференциал функции имеет один и тот же вид : произведение производной функции по какой-либо переменной на дифференциал этой переменной не зависимо от того является ли эта переменная функции или независимой переменной, т.е аргументом.

8. 
   Опишите способы нахождения производной степенно-показательной функции. Объясните логарифмическое дифференцирование и проиллюстрируйте его на примере. y=u^v
   

Чтобы найти производную степенно-показательной функции достаточно продифференцировать ее как показательную, а затем как степенную и полученный результат сложить. y’= u

---

^v*ln u*v’+v u^v-1*u’

Логарифмическое дифференцирование: на примере y=x^sin(x+1)

1. 
   Логарифмируем обе части. ln y=sin(x+1)*ln x
   
2. 
   Дифференцируем обе части, считая, что y’=y(x). *y’=cos(x+1)*ln x+sin(x+1)*
   
3. 
   Выражаем у’. y’= x^sin(x+1)( cos(x+1)*ln x+ )
   

9. Введите понятие производной второго, третьего и т. д., n-го порядка. Приведите примеры. Сформулируйте теорему о производных высших порядках суммы и произведения функций. Проиллюстрируйте их примерами.

Пусть функция f(x), определена на интервале (а,b) имеет в каждой точке x∈(а,b) производную f”(x) и пусть x₀∈(а,b). Если при x=x₀ у производной f ’(x) существует производная, то она называется второй производной функции f(x) или производной второго порядка. Производную от второй производной называют производной третьего порядка. Аналогично определяется производная y⁽ⁿ⁾ любого порядка, n=1,2,3…,если существет производная y^(n-1) . Производной нулевого порядка считается сама функция.

Производной n-ого порядка f⁽ⁿ⁾(x₀)=

Теорема. Пусть у₁=f₁(x) и у₂=f₂(x) имеют производные n-ого порядка, тогда функция у₁+у₂= f₁(x)+f₂(x), а функция у₁*у₂= f₁(x)*f₂(x) также имеют производные n-ого порядка в т x₀ и они равны:

(у₁+у₂)⁽ⁿ⁾= у₁⁽ⁿ⁾+ у₂⁽ⁿ⁾

(у₁*у₂)⁽ⁿ⁾= у₁⁽ⁿ⁾ у₂+n у₁^(n-1) у₂⁽¹⁾ у₁^(n-2) у₂⁽²⁾ у₁^(n-3) у₂⁽³⁾+…+ у₁у₂⁽ⁿ⁾-Формула Лейбница

9. Введите понятие дифференциала второго, третьего и т. д., n-го порядка функции одной переменной. Докажите формулу для дифференциала n-го порядка. Сформулируйте свойства дифференциалов высших порядков. Приведите примеры.

---

Значение дифференциала d(dy), то есть диффе­ренциала от первого дифференциала, в некоторой точке х₀ называется вто­рым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через d ²y (чита­ется: d два у), то есть d ²y = f "(x₀)dx².

d ⁿy = d(d ^n-1y) или dⁿy = yⁿdxⁿ,n = 1,2,...

Док-во (методом математической индукции) : Для n=1, n=2-доказано d(dy)= d ²y. Пусть верно для n-1 т.е. d^n-1y = y^n-1dx^n-1. d(d^n-1y )= d(y^n-1dx^n-1)= yⁿdxⁿ таким образом d(d^n-1y )= yⁿdxⁿ

Свойства дифференциалов высших порядков

1. 
   dⁿ(y₁+y₂)=dⁿy₁+dⁿy₂
   
2. 
   dⁿ(cy) = cdⁿy, с —постоянная.
   
3. 
   Dⁿ(y₁y₂) ⁼ (dy₁ + dy₂)^{n} (это означает, что данная формула записыва­ется по аналогии с биномиальной формулой). (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+ a^n-2b²+…+ bⁿ
   

9. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

---

Сформулируйте и докажите теорему Ферма. Приведите её геометрическую интерпретацию.

Теорема: пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точке x₀ и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение. И имеет в этой в точке х₀ производную, то она равна нулю, т.е. f'(x₀)= 0.

Доказательство. Пусть функция f определена в ок­рестности U(х₀) точки х₀ и принимает в точке х₀ наибольшее значение, т. е. для всех х € U(х₀) вы­полняется неравенство f(x) ≤f(х₀). Тогда если х < х₀, (т.е слева от точки ч0) а если х > х₀ (т.е справа от точки х0), то

По условию существует f ‘(x0) следовательно существует предел
поэтому предел относительно неравенств это левосторонние проавосторонние производные. Таким образом существуют f '+(x₀) ≥ 0 и f '_(x_o) ≤ 0. Но по условию существует f '(x₀) следовательно f '+(x₀) =f '_(x_o) = 0

Геометрическая интерпретация состоит в том, что если при х = х₀ дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой окрестности точки х₀, то касательная к графику функции в точке (х₀, f(х₀)) параллельна оси ОХ (рис.21)

Замечание. Теорема не верна, если функцию f(х) рассматривать на отрезке [а, b]. Так, например, функция f(x) = х на отрезке [0,1] в точке х = 0 принимает наименьшее, а в точке х = 1 - наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице

9. Сформулируйте и докажите теорему Ролля о среднем значении, приведите её геометрическую интерпретацию и объясните условия применимости.

---