Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

₀ ) > 0, то х0 является точкой возрастания функции. Если f ′ (x₀ ) < 0, то х0 являыется точкой убывания функции.

Если f ′ (x₀ ) = 0, а f ′′ (x₀ ) 0 , то в т. х0 есть экстремум, а именно, если f ′′ (x₀ ) > 0 , то минимум.
Пример: f(x) = + 2 cos x - исследовать на экстремум

Решение:

1) f ′ (x) = + 2 sin x = - 2 sin x

- 2 sin x = 0 x₀ = 0 - стационарная точка

2)f ′′ (x) = - 2 cos x , f ′′ (x₀ ) = 0

3)f ′′′ (x) = + 2 sin x , f ′′′ (x₀ ) = 0

4)f ′′′′ (x) = + 2 cos x f ′′′′ (x₀ ) = 4 > 0 → по теореме 6 х₀ - точка минимума.

9. 0>
   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   15

---

Введите понятия наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Сформулируйте правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале с помощью производной.

Пусть Х - некоторое множество, входящее в область определения D(f) функции y=f(x).

Определение. Значение f(x0) функции y=f(x) в точке х0Х называется наибольшим (наименьшем) значением функции f(x) на множестве Х если для любой точки хХ выполнено неравенство ( )

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] нужно

1. 
   Найти все точки «подозрительные» на экстремум.
   
2. 
   Выбрать из них те точки, которые принадлежат отрезку [a,b]
   
3. 
   Вычислить значения функции во всех этих точках, а также значения на концах отрезка f(a) и f(b).
   
4. 
   Выбрать из всех полученных значений наибольшее и наименьшее.
   

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения на интервале.

1. 
   Находим производную f’(x).
   
2. 
   f’(x)=0
   
3. 
   Находим стационарную точку выбираем  (a,b)
   
4. 
   Если точки стационарная одна, нужно исследовать ее на экстремумы.
   
5. 
   Если m max-наибольшее значение, m min-наименьшее значение
   
6. 
   Записать ответ.
   

9. Введите понятие выпуклости вниз (вверх) функции на промежутке. Сформулируйте и докажите достаточные условия выпуклости функции вниз (вверх). Проиллюстрируйте их на примере.

Предположим, что функция ƒ(х) дифференцируема в любой точке интервала (а,b). Тогда, как известно, существует касательная к графику функции у = ƒ(х), проходящая через любую точку М(х,ƒ (х)) этого графика (а < х < В), причем эта касательная не параллельна оси Оу.

Определение 1. Будем говорить, что график функции у = ƒ(х) имеет на (а,b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а,b).

---

ТЕОРЕМА (достаточное условие выпуклости). Если функция у = ƒ(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и ƒ"(х) ≥0 (ƒ"(х) ≤0) во всех точках (а,b), то график функции у = ƒ(х) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз(верх).

Доказательство.

1. 
   Для определеенности рассмотрим случай f ’’(x)≥на (а,b). Пусть х0 любая точка из (а,b).
   

Надо доказать, что график функции y=f(x) лежит не ниже любой касательной проведенной к графику функции.

2. 
   Уравнение касательной к графику в точке хо.
   
3. 
   Разложим функцию y=f(x) по формуле Тейлора при n=1
   

4. 
   
   

ч.т.д.

Замечание. Если ƒ”(х) = 0 всюду на (а,b), то у = ƒ(х) — линейная функция, т. е. график её есть прямая линия. В этом случае направление выпуклости можно считать произвольным.

ТЕОРЕМА . Пусть вторая производная функции у = ƒ(х), т. е. ƒ"(х), непрерывна и положительна (отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки Хо, в пределах которой график функции у = ƒ(х) имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

9. Сформулируйте определение точки перегиба графика функции, проиллюстрируйте его на примерах. Сформулируйте и докажите необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть a,b и – некоторые числа, причем . Функция у=f(х) дифференцируема на (а,b), т. е. существует касательная к графику этой ф-ции во всех точках, абсциссы которых принадлежат интервалу (а,b). Пусть график ф-ции у=f(х) имеет определенное направление выпуклости на каждом их интервалов ( и ( .

Опр. 2. Точка М( ,ƒ ( )) графика ф-ции у=f(х) называется

---

точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки , в пределах которой график ф-ции у=f(х) слева и справа от имеет направления выпуклости
Теорема. (необходимое условие точки перегиба). Если график ф-ции у=f(х) имеет перегиб в точке М( ,ƒ ( )) и если ф-ция f(х) имеет в точке непрерывную вторую производную, то =0

Точки М( ,ƒ ( )) графика, для которых =0, называются критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке , для этого существуют достаточные условия перегиба.

Доказательство (методом от противного).

Пусть , для определеннности положим след-но по теореме (об устойчивости знака непрерывной функции) существует u(x0) в пределах которой нет точек перегиба, а это противоположно условию теоремы ч.т.д.

9. 1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15

---

Сформулируйте и докажите достаточные условия перегиба графика функции в терминах второй производной и в терминах третьей производной. Проиллюстрируйте их на примерах.

Теорема (первое достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х0 и f’’(x0)=0. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная f’’(x0)=0 имеет разные знаки слева и справа от x0, то график этой функции имеет перегиб в точке М(х0,f(x0)).
Теорема. (второе достаточное условие точки перегиба в терминах третьей производной).Если функция y=f(x) имеет в точке х0 конечную третью производную и при этом а , то график этой функции имеет перегиб в точке M(x0,f(x0))

Доказательство:

Пусть пусть

Так как то по теореме о строгом возрастании (убывании) функции либо строго возрастает, либо строго убывает в точке х0 . По условию поэтому имеет разные знаки на интервалах и при некотором откуда используя теорему о первом достаточном условии наличия точек перегиба, заключаем что х0 точка перегиба функции f(x).

9. Сформулируйте определения вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Докажите теорему, выражающую необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты. Объясните правила нахождения асимптот (вертикальной и наклонной). Приведите примеры.

Говорят, что х=а является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если хотя бы один из пределов

---