Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

Теорема 2 (теорема Ролля). Пусть функция f(х):

1. 
   непрерывна на отрезке [а, b];
   
2. 
   имеет в каждой точке интервала (а, b) конечную или определенного знака бесконечную производную;
   
3. 
   принимает равные значения на концах отрезка, т. е. f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна такая точка ξ (читается «кси»), а < ξ < b, что f ’(ξ ) = 0.
   

Доказательство.

Если для любой точки х интервала (а, b) выполняется равенство f(х) = f(a) = f(b), то функция f является постоянной на этом интервале и поэтому таких точек ξ € (а, b) бесконечно много f '(ξ) = 0.

Пусть существует точка х₀ € (а, b), для которой f(x₀) ≠ f(a), например, f(х₀)>f(a). Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений, существует такая точка ξ [а, b], в которой функция f принимает наибольшее значение.

f(ξ) ≥f(х₀) > f(a) = f(b).

Поэтому ξ ≠ а и ξ ≠ b, т. е. точка ξ принадлежит интервалу (а, b) и функция f принимает в ней наибольшее значение. Следовательно, согласно теореме Ферма, выполняется равенство f '(ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется по крайней мере одна точка, в которой касательная параллельна оси ОХ

9. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа о среднем значении и следствие из неё. Объясните геометрический смысл теоремы.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и в любой точке интервала (a,b) имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то в этом интервале (a,b) существует, по крайней мере, одна точка

---

ξ ∈(a,b) такая, что выполняется равенство f(b)-f(a)=f ‘(ξ)(b-a) – формула конечных приращений Лагранжа

1. 
   Р ассмотрим вспомогательную функцию F(x)= f(x) - λ(x), такую что F(a)= F(b) тогда f (a) - λ a= f (b) - λ b ⇒ λ=
   
2. 
   Для функции F(x) выполняются все условия т. Ролля:
   

1. 
   f(x) непрерывна, как сумма двух непрерывных функций
   
2. 
   f(x) дифференцируема как сумма диф. Функций
   
3. 
   F(a)= F(b) выбрали ⇒ существует точка Ψ∈(a,b), F ‘(Ψ)=0
   

Продифференцируем F(x): F ‘(x)= f ‘(x)- λ=0 ⇒ f ‘(x) =λ,

f ‘(x) = λ= ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Теорема Лагранжа показывает, что в интервале (a,b) существует по крайней мере одна точка в которой касательная к графику функций параллельна хорде, соединяющей концы кривой .

Следствие 1

Если функция непрерывна на некотором промежутке конечном или бесконечном и во всех его внутренних точках имеет производную равную нулю, то функция на этом промежутке является const

Док-во

Это следствие имеет наглядную механическую интерпретацию: если функция y=f (x) является законом движения материальной точки по прямой, x-время, y-расстояние от начала отсчета на прямой, то условие

f ‘(x)=0 для всех x∈(a,b) означает, что скорость рассматриваемой точки в течение интервала времени (a,b)все время равна нулю, т. е. точка неподвижна, но тогда за это время положение точки, а потому и пройденный ею путь не изменятся. Это и означает, что функция f(x) постоянна на интервале (a,b).

Следствие 2

Если f(x) и g(x) непрерывны на некотором промежутке и во всех его внутренних точках имеют равные производные, т.е. f ‘(x) = g’(x). То эти функции отличаются на const, т.е. f (x) = g(x)+с

Док-во

Рассмотрим F(x)= f(x) - g(x), которая удовлетворяет условию теоремы, т.е. F’(x)= 0 ⇒ F(x)= с ⇒ f(x) - g(x)=с ⇒ f (x) = g(x)+с ч.т.д.

9. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

---

Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Объясните его применение при вычислении пределов функций в случаях разных видов неопределенностей.

Неопределенность вида

1)функции f (x) и g(x)и определены в промежутке [a, b)

2) .

3) cуществуют в промежутке [a, b) конечные производные f ‘(x) и g’(x)

4) существует (конечный или бесконечный) предел Тогда существует

Пример 1:

Неопределенность вида

1)функции f (x) и g(x)и определены в промежутке [a, b)

2) ∞.

3) cуществуют в промежутке [a, b) конечные производные f ‘(x) и g’(x) , причем g’(x)≠0 ;

4) существует (конечный или бесконечный) предел

Тогда и

Пример 1 :

(α >0)

Другие виды неопределенностей (0*∞), ( ), )

При раскрытии других видов неопределенностей следует сначала свести

9. Приведите вывод формулы Тейлора для произвольной функции с остаточным членом в форме Лагранжа. Объясните получение формулы Маклорена.

R_n(x)- остаточный члент формулы Тейлора

---

Пусть f(x) – дифф-ма в т. x₀ и имеет производные до порядка (n+1) включительно, тогда :

R_n(x)= * (x-x₀)^{n+1 –} остаточный член ϕ¹ в формуле Лагранжа

С-точка между x и x₀

f(x)=f(x₀) + (x- x₀) + (x- x₀)² +…+ (x- x₀)ⁿ + (x- x₀)ⁿ⁺¹ - формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа .
P_n(x)=P_n(0) + (x- x₀) + (x- x₀)² +…+ (x- x₀)ⁿ - формула Тейлора для многочлена.

Если x₀=0, то получаем

P_n(x)=P_n(0) + x + x² +…+ xⁿ

9. Объясните разложение основных элементарных функций (????^????, sin ????, cos ????, ln ????, ????rctg ????) по формуле Маклорена.

f(x)=e^x. Так как f(x)=f '(x)= f '' (x)=…= f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x ; f(0)=f '(0)= f '' (0)=…= f⁽ⁿ⁺¹⁾(0)=1, то формула Маклорена имеет вид

f(x)=sinx. Так как f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+n ); f⁽ⁿ⁾(0)=sin(n )= , то формула Маклорена имеет вид sinx=

f(x)=cosx. Так как f⁽ⁿ⁾(x)=cos(x+n ); f⁽ⁿ⁾(0)=cos(n )= , то формула Маклорена имеет вид cosx=

---

f(x)=ln(1+x). Так как f⁽ⁿ⁾(x)= ; f⁽ⁿ⁾(0)= , то формула Маклорена имеет вид ln(1+x)=

f(x)=arctgx, то формула Маклорена имеет вид arctgx=

9. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

---