Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

Свойства интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть   интегрируема на  . Тогда функция   непрерывна на  .

Доказательство. Пусть  . Тогда



Функция   ограничена на   (поскольку она интегрируема), так что при некотором  .

Следовательно  при  , что и требовалось показать.

Теорема 2. Пусть функция   интегрируема на   и непрерывна в точке  . Тогда функция   имеет производную в точке   и

Теорема 3.Пусть функция   непрерывна на  . Тогда она имеет на   первообразную

---

, где  .

9. 1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

---

Сформулируйте и докажите основную теорему интегрального исчисления. Приведите примеры использования формулы Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла.

Формула Ньютона- Лейбница

Теорема 4. (основная теорема интегрального исчисления)

Пусть f(x) - непрерывна на [a;b] и пусть Ф(x) - какая-либо первообразная этой функции, тогда



Док-во:

Пусть F(x) = - первообразная функции f(m).

Ф(x) и F(x) - отличаются на const C, т.е.

F(x) = Ф(x) + C



1) пусть x=a, тогда 0 = Ф(а) + С → С = - Ф(а)

пусть x=b, тогда ч.т.д.

9. Сформулируйте теорему о замене переменной в определенном интеграле и теорему о вычислении определенного интеграла методом интегрирования по частям. Укажите особенность применения метода замены переменной в определенном интеграле. Приведите примеры.

1. 
   Метод замены переменной.
   

Теорема 1.Пусть выполняются условия:

1. 
   f(x) непрерывна на [a,b].
   
2. 
   Отрезок [a,b] является множеством значений некоторой функции x= определена на отрезке [,] и имеющей на нем непрерывную производную.
   
3. 
   )=а )=b
   

в этом случае справедлива формула замены переменной определенного интеграла



Замечание. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены мы должны были от новой переменной t возвращаться к старой переменной x, то при вычислении определенного интеграла этого можно не делать т.к. цель – найти число, которое согласно вышеприведенной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.

Примеры:

1. 
   
   

2) Интегрирование по частям

Теорема 2.

---

Если функция u=u(x) и v=v(x) – непрерывна на [a,b] вместе со своими производными, то справедлива формула



Пример.

9. Обобщите интеграл Римана на случай неограниченного промежутка. Введите понятие несобственного интеграла первого рода. Объясните способ его вычисления и обобщенную формулу Ньютона-Лейбница. Приведите примеры сходящегося и расходящегося интегралов.

Определение. Пусть функция f(x) задана в промежутке [a,+ ) и интегрируема в любой его части [a,b] т.е. существует определенный интеграл при любом b>a. Тогда, если существует конечный предел (3)

То его называют несобственным интегралом первого рода или несобственным интегралом функции f(x) в промежутке [a,+ ) и обозначают символом

(4)

Таким образом:

(5)



В этом случае говорят, что несобственный интеграл (4) существует или сходится. Если же предел (3) не существует или бесконечен то говорят что несобственный интеграл (4) не существует или расходится.

Несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами определяется как сумма подобных интегралов т. е. справедливо равенство:



Замечание. Так как несобственный интеграл определяется как предел определенного интеграла, то на несобственный интеграл переносится все те свойства определенного интеграла, которые сохраняются при этом предельном переходе. Теорема о среднем, очевидно, здесь не выполняется.

Обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

---

Где

Примеры:

1. 
   Исследовать сходимость интеграла
   

Решение:



Т.е. интеграл сходится.

2. 
   Исследовать сходимость интеграла
   

Решение:



Но предел функции sinb при не существует, следовательно, интеграл расходится.

9. Сформулируйте определение несобственного интеграла от неограниченной функции (второго рода). Объясните его геометрический смысл и правила вычисления. Опишите свойства этого интеграла.

Определение. Пусть функция f(x) определена и не ограничена на полуинтервале [a,b), причем она ограничена и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,t], Тогда, если существует конечный предел



То он называется несобственным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается

Геометрический смысл:
Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [a,b) то несобственный интеграл числено равен площади неограниченной области G:

Несобственные интегралы 2-го рода легко переносятся многие свойства интеграла Римана:

Свойство 1. Пусть функция f непрерывна на полуинтервале [a,b) и пусть F- какая-либо первообразная функции f на [a,b)тогда



Свойство 2.Несобственный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их несобственных интегралов



Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак несобственного интеграла

---