Файл: 9. Введите понятие производной второго, третьего и т д.docx

или был равен .

Говорят, что прямая у=kx+b является наклонной асимптотой графика функции у=f(x) при х , если f(x) представима в виде: f(x)=kx+b+ , где , бесконечно-малая функция, т.е .

Теорема (о существовании наклонной асимптоты)

Для того чтобы график функции у=f(x) имел при х наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

(1)

(2)

Доказательство:

1. 
   Необходимость.
   

Пусть график функции у=f(x) имеет наклонную асимптоту. Нужно доказать, что существуют два предела (1) и (2). По определению наклонной асимптоты имеем: f(x)=kx+b+ , где . Найдем:

(1)

(2)

2. 
   Достаточность.
   

Даны два предела (1) и (2). Нужно доказать, что f(x)=kx+b+ . Из (2) , означает что – бесконечно малая функция. Обозначим ее через = . Следовательно, f(x)=kx+b+ , откуда следует, что у=f(x) – имеет наклонную асимптоту.

9. 
   Опишите схему полного исследования функции с помощью производной и построения её графика.
   

Схему полного исследования функции с помощью производной и построения её графика.

---

1. 
   Найти область определения ф-ции и, если возможно, область изменения ф-ции.
   
2. 
   Исследовать ф-цию на четность, нечетность, периодичность.
   
3. 
   Найти точки пересечения графика ф-ции с осями координат и интервалы знакопостоянства ф-цию.
   
4. 
   Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва (если они существуют) и установить их характер.
   
5. 
   Исследовать поведение ф-ции на концах области определения.
   
6. 
   Определить интервалы монотонности (возрастания и убывания) ф-ции: найти точки экстремума и ф-ции.
   
7. 
   Определить интервалы выпуклости вниз и выпуклости вверх графика ф-ции; найти точки перегиба и значения ф-ции в этих точках.
   
8. 
   Найти асимптоты графика ф-ции (вертикальные, горизонтальные, наклонные y=kx+b)
   

9. 
   Взять несколько контрольных точек.
   
10. 
    Построить график ф-ции.
    

9. Сформулируйте определение частной производной функции трех переменных в точке. Введите понятие частного и полного дифференциалов функции в точке. Приведите примеры нахождения частных производных и частных дифференциалов функции трех переменных.

Пусть в некоторой окрестности точки (х₀,y₀,z₀) задана функция u=u(х,y,z), фиксируя переменные y и z: y=y_0, z=z₀ , получим функцию одной переменной х: u=u(х,y₀,z₀). Обычная производная этой функции по х в точке х₀ называется частной производной функции.



= u(x₀+ , y₀,z₀)-u(х₀,y₀,z₀) – приращение функции u по переменной x

=

Пусть u=u(х,y,z), тогда выражение вида – называется частным дифференциалом функции u по переменной x.

Сумма всех частных дифференциалов функции– называется полным дифференциалом функции: du= +

---

+ .

Примеры:

Частные производные: u=







Частные дифференциалы: все тоже самое, умноженное на dx.

9. 1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   15

---

Введите понятие частных производных второго и третьего порядков (чистых и смешанных). Приведите примеры нахождения частных производных второго и третьего порядков.

Пусть задана функция f(х,y,z), найдем ее частные производные: , , , тогда выражение вида : –называется чистой частной производной второго порядка, – чистая частная производная третьего порядка.

Пусть задана функция f(х,y,z), найдем ее частные производные: , , , тогда выражение вида: – называется смешанной частной производной второго порядка, – смешанная частная производная третьего порядка.

Примеры:

f(x,y,z)=

– частная производная по Х.

– частная производная второго порядка по Х.

– частная производная третьего порядка по Х.

9. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка. Приведите примеры.

Теорема (о равенстве смешанных производных)

Пусть f(x.y) – определена вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки (х₀,у₀), причем непрерывны в этой точке, тогда: .

---

9. Введите понятие дифференциалов высших порядков функции двух переменных. Опишите процесс нахождения дифференциалов второго и третьего порядков. Объясните, в чем особенность нахождения дифференциала второго порядка сложной функции. Приведите примеры.

Дифференциалом функции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения независимых переменных

 

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемойой в точке (х,у), если ее полное приращение может быть представлено в виде   бесконечно малые величины при Δх→0, Δу→0.

Дифференциалом 2го порядка функции z=f(x,y) называют дифференциал от дифференциала 1го порядка.



Рассмотрим сложную функцию у=f(u) , u=u(x), то есть у= f(u(х))= f(х). Тогда по определению дифференциала имеем dy=f_х^’(x)dx.

Но поскольку производная сложной функции равна f_х^’= f_u^’*u_x^’,то dy= f_u^’ *u_x^’ dx. Используя равенство u_x^’ dx=du, получим dy= f_u^’(u) du.

9. 
   Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции двух переменных в точке. Опишите достаточные условия строгого экстремума функции двух переменных в точке. Объясните алгоритм нахождения экстремума функции двух переменных в точке.
   

Необходимое условие экстремума. Если точка   является точкой экстремума функции   то или хотя бы одна из этих производных не существует.

---