Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

Уравнения (1-5-1) и (1-5-2) описывают «динамику» собственно ав­ томата. Взаимодействие автомата со средой определяется ответ­ ной реакцией среды s [к] на действия автомата / [к]. Поэтому вход­ ное воздействие на автомат зависит от выходных величин и пара­ метров среды.

Уравнение среды можно записать как

ленного поведения автомата под влиянием среды. Впервые сфор­ мулировал и решил подобные задачи М. Л. Цетлин в 1964 г. Стра­ тегии автоматов в таких играх являются состояниями, а память автоматов определяет число стратегий.

В случае игры автоматов с нулевой суммой основная теорема о минимаксе (см. главу 1-3) остается справедливой.

Выше был приведен подход к теории игр автоматов, основан­ ный на представлении игры как динамической системы. Такой под­ ход, по-видимому, полезен для создания ' общей картины поста­ новки динамических задач и, несомненно, будет использован при решении конкретных задач. Однако в собственно теории игр ав­ томатов используется несколько иной подход, основанный на при­ веденном выше абстрактном определении автомата.

Создателем теории игр автоматов является выдающийся со­ ветский ученый кибернетик М. Л. Цетлин.

Ниже приведены основные положения теории игр автоматов, являющиеся сокращенным изложением его работы (1964).

Рассмотрим детерминированный автомат U, заданный своими

В этих уравнениях переменная t имеет смысл времени и предпола­ гается принимающей целочисленные значения t = 1, 2, ... Пред­ положим, что входная переменная s (t) может принимать лишь два значения: 0 и 1 (значение s = 0 соответствует единичному вы­ игрышу, а значение s = 1 — единичному проигрышу автомата 31). Предположим далее, что выходная переменная / (і) автомата может принимать X различных значений Д, / 2 , / х . Значения перемен­ ной / (t) называют действиями автомата, т. е. в момент t автомат 91 произвел d-e действие, если

/(0 = /а, а =1,2...%.

Предполагается также, что переменная ф (I) может принимать m различных значений фІ 5 ф2 ... ф т . Эти значения называются состояниями автомата, а число m — емкостью его памяти. Очевид-

50

но, что m > %. Автомат 3Î находится в момент t в /-м состоянии,

от его состояний. Входная переменная принимает лишь два значе­ ния, так что (1-5-3) задает пару отображений в себя множества состояний автомата; одно из этих отображений задано для s = О, другое — для s = l .

Эти отображения записывают в виде специальной матрицы состояний \\а,ц (s) U, i, j = 1, 2 ... m, где каждая строка ее при любом фиксированном значении s содержит в точности один эле­ мент, равный единице, а остальные элементы равны нулю. Матрица

число действий fu / 2 ... / х ; как и для детерминированных автоматов, описанных выше, мы будем предполагать, что входная переменная принимает лишь два значения: S = 0 и S.= 1. Действия стохасти­ ческого автомата однозначно определяются его состоянием: / (і) =

менной. Очевидно, что детерминированные автоматы являются частным случаем стохастических. Автомат 31 находится в стацио­

зом, функционирование автомата в стационарной случайной среде описывается цепью Маркова.

Обозначим через rt финальную вероятность состояния ф£ ав­ томата, находящегося в стационарной случайной среде С.

51

Для автомата, совершающего свои действия равновероятно и

свои состояния при выигрыше и изменяет при проигрыше. Мат­ рицы состояний имеют вид

Пусть автомат L 2 ) 2 погружен в среду С (п1, сі2 ). Построив матрицу переходных вероятностей

\\Яі Pi

Р = I р 2 Ч.Ч.

1 - я ,

г = 1,2,

находим для вычисления финальных вероятностей гг и г2 уравне­ ния

52

вательности партий / (I), t= 1,2 ... исходы s (f -f- 1) которых опре­ деляются вероятностями р (/ (t), s (t + 1)).

Платежные функции v* (f), / = 1 . . . ѵ , задающие игру Г*, имеют смысл математического ожидания выигрыша /-го игрока при

53

Игру V лиц Г* назовем эквивалентной игре автоматов Г. Заметим, что задание игры Г* не определяет однозначно игры автоматов Г. В самом деле, игра Г* задается ѵ функциями Ѵ] (/), а игра Г зада­

Произвольная игра Г* позволяет однозначно построить игру авто­ матов с независимыми исходами; при этом

здесь определения игр автоматов и способы поведения в этих иг­ рах значительно отличаются от точки зрения, принятой в теории игр.

В самом деле, в теории игр предполагается, что система пла­ тежных функций, определяющих игру, заранее сообщается ее участникам. Игрок должен использовать эту информацию для того, чтобы определить свою стратегию (обычно смешанную), кото­ рая в ходе самой игры уже не изменяется; для выбора стратегии разрешается использование любых вычислительных средств.

Игры автоматов определяются заданием не только системы пла­ тежных функций, но и конструкций играющих автоматов. Авто­ маты, участвующие в играх, априорной информацией об игре не обладают. Ходы определяются лишь проигрышами и выигрышами в ходе самой игры.

Роль платежных функций, задающих игру, и партнеров авто­ мата по игре сводится поэтому лишь к образованию более или ме­ нее сложной случайной среды, в которой автомат должен обладать целесообразным поведением.

П р и м е р . Игра двух автоматов с нулевой суммой. Рассмот­ рим игру Г, в которой участвуют автоматы. 9t1 и W, имеющие со­

из двух автоматов выигрывает, а другой проигрывает. Тогда ве­ роятности р (/, s) — р (f, f, s1 , s2 ) исходов s— (s1 , s2 ) равны нулю при s1 =

54