Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

Определенную таким образом игру автоматов назовем игрой двух автоматов с нулевой суммой.

Величина

qi'P = Р (Л Л 0, 1)

имеет смысл вероятности выигрыша первого автомата в партии

PM-- = P(f\ Л t 0)

представляет собой вероятность его проигрыша в этой партии. Со­ гласно (1-5-5)

ql4* + pNz = 1.

Математическое ожидание тр^ выигрыша автомата 3t1 в партии / (Л f) равно в силу (1-5-6)

тІЧг = qNz — рІЧг.

Очевидно, что математическое ожидание суммы выигрышей авто­

игра является эргодической, то существуют финальные вероятно­ сти состояний системы участвующих в игре автоматов и величина W (ЗІ1 , 212) математического ожидания выигрыша первого авто­ мата не зависит от их начальных состояний. Эту величину назовем

Рассмотрим игру автомата 31 с противником U, использующим фиксированную смешанную стратегию. Пусть противник U ав­ томата 31 в игре реализует некоторую смешанную стратегию х=

=(х1 + ••• + xN), т. е. в каждой партии использует свою ß-io

чистукГстратегию, ß = 1 ...Ne вероятностью xt + ... -f- xN = 1. По определению смешанной стратегии величины х$ являются функциями матрицы | т а р|| игры Г и не зависят от поведения парт­ нера.

Тогда для любой чистой стратегии / а , а = 1 ... M автомата 21 определены математические ожидания та выигрыша:

JV

та = 2 maßXß.

Р=і

55

Таким образом, игра с противником, избравшим произвольную

является оптимальной, то математическое ожидание выигрыша автомата 21Г1 при п ->- со стремится к величине

партнера, избравшего оптимальную стратегию, хотя и не распо­ лагает априорными сведенияАіи о структуре матрицы || тар || игры Г, а получает всю необходимую информацию в ходе самой игры; поведение, целесообразное в стационарной случайной среде, ока­ зывается целесообразным и в рассмотренном случае игры.

Приведенные выше элементы теории игр автоматов позволяют подойти к исследованию целесообразного поведения различных по сложности коллективов, состоящих из отдельных клеток, нервных центров или целых организмов.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. О математическом моделировании меха­ низмов центральной нервной системы. В сб. «Модели структурно-функ­ циональной организации некоторых биологических систем». М., «Наука», 1966.

Цетлин М. Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биоло­ гических процессов. М., «Наука», 1969.

Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М., «Нау­ ка», 1968.

56

Глава 1-6

ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Теория статистических решений, являясь более общей по от­ ношению к приведенным выше теориям исследования динамики управляемых систем (главы 1—2, I—3), основывается на теории игр и математической статистике (Крамер, 1948).

Выше, в главе 1-3, уже было введено понятие игры, но оно было связано с детерминированными представлениями.

Втеории статистических решений рассматриваются случайные ходы, влияющие на исход игры. В статистических играх в соот­ ветствии с определением Б. БлекуэллаиМ . Гиршика (1958) игро­ ками являются природа (обозначается игрок I) и статистик (обо­ значается игрок I I ) .

Встатистических играх элементы cod в Й (D) (см. главу 1-0) определяют чистые стратегии природы, поэтому юй можно счи­ тать состояниями природы.

Структура пространства чистых стратегий статистика (II) мо­ жет быть более сложной, Чем структура пространства чистых стра­ тегий природы (I), так как статистик имеет в своем распоряжении класс возможных действий, которые он может совершать (или со­ ответственно решений, которые он может принимать) по отношению к неизвестному для него состоянию природы cùd. Производя оп­ ределенное действие без испытания, статистик допускает, что он

может быть получено за счет проведения испытаний и получения некоторой информации относительно состояния природы ш^. Основным вопросом, возникающим при этом, является выбор стра­ тегии. Как отмечалось выше, в статистической игре без испытаний пространство чистых стратегий есть пространство X (элемента­ ми этого пространства являются возможные действия статистика).

В игре с ограниченным объемом выборки (единичным испыта­ нием) число стратегий статистика растет, поскольку ему необхо­

57

пространства X на множество Ех (называемой критической обла­

Таким образом, определяется статистическая игра, в которой рассматриваются ситуации взаимоотношений с внешним миром. Игры с разумным противником имеют ту же структуру, что и ста­ тистические игры. В общей теории статистических решений су­ ществуют несколько направлений (Фельдбаум, 1963):

—теория двуальтернативных решений рассматривает случай определения одного из двух возможных значений пара­

метра ах или а2 с известными априорными вероятностями;

— теория многоальтернативных решений рассматривает слу­ чаи определения к различных значений параметра аи...

... ак при известных априорных вероятностях;

—теория оценки параметров рассматривает получение наи­ лучшей оценки значения параметра, принадлежащего к определенной области Q (А) при наличии известной априор­ ной плот тости вероятности Р (А);

—теория оценки процессов рассматривает получение наилуч-

--шей оценки параметра, меняющегося во времени A (t).

Исходная выборка (или сигнал) представляется вектором S, который может в общем случае содержать несколько неизвестных параметров

58

Выше были рассмотрены игровые аспекты теории статистиче­ ских решений, связанные со статистическими играми.

Основная проблема при этом заключалась в выборе решающей функции и стратегий, таких, чтобы обеспечить определенное зна­ чение выгоды.

Одним из основных и в достаточной мере разработанных направ­ лений общей теории статистических решений является теория двуальтернативных решений (Фельдбаум, 1963). Основная проблема в этой теории состоит в определении одного из двух возможных значений параметра а : ях или а2. Выше был приведен подход к этой проблеме при введении понятия стратегии V , определяющего разбиение пространства на критическую область Ег и ее дополнение С (і?і), причем при a Ez Ех параметр а имеет значение аи а при а £Е €Е С (ijj) параметр а имеет значение а2 .

Решение этой задачи связано с необходимостью определения функции правдоподобия Р (XIа) (см. главу 1-0).

Определения апостериорных вероятностей Р (АІХ) с помощью формулы Бэйеса

P № ) = _ _ M W )

VР {А) Р {XIA) dQ (А)

О(А)

Р. Фишером правила: наиболее правдоподобно то значение парамет­

Применяя теперь метод максимума правдоподобия, можно утвер­ ждать, что при H (X) ^> 1 выносится решение а — аи а при

59