Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

'значения констант, а также оценка соответствия полученных ана­ литических зависимостей реальным процессам. Задачи, возника­ ющие во втором направлении, позволяют изучить влияние на процесс кровотока таких его параметров, как эластичность стенок сосудов, вязкость крови, геометрические размеры сосудов и др. Математически эти задачи сводятся к анализу решений дифферен­ циальных уравнений в частных производных.

Третье направление посвящено анализу условий для наивы­ годнейшего (в определенном смысле) протекания процесса, про­ гнозирования поведения системы при изменении граничных условий.

Математически это направление связано с решением диффе­ ренциальных уравнений в частных производных и с соответству­ ющими вычислительными методами.

Создание математических моделейкровотока и их исследова­ ние с помощью ЦВМ может способствовать более четкой поста­ новке задачи для дальнейшего экспериментального нейрофизиоло­ гического изучения системы мозгового кровообращения.

Среди работ, посвященных проблеме мозгового кровообраще­ ния, представляется целесообразным рассмотреть подход Моска­ ленко (1967) к созданию математической модели внутричерепного кровообращения с помощью дифференциально-разностных урав­ нений. Подобный подход дает возможность представить сложные нелинейные зависимости в доступной для вычисления форме.

Сущность метода конечных разностей заключается в замене производных отношениями конечных приращений.

Включенные в модель функциональные связи можно разбить на три группы. К первой группе зависимостей относится измене­ ние объема сосуда или полости при изменении давления жидко­ сти, которая его наполняет. Эти зависимости являются нелиней­ ными и, согласно экспериментальным данным, приведенным Мос­ каленко, их можно выразить аналитически следующим образом:

где Wi — величина объема в относительных единицах; Pt — ве­ личина давления в относительных единицах; Р* — величина дав­ ления, при котором производится сопряжение данных зависимо­ стей; /Cj, Ä\j, а, Ь, *с, d — экспериментально подбираемые коэф­ фициенты. Ко второй группе зависимостей относится изменение давления жидкости в сосуде или полости в зависимости от объема среды, которая их наполняет. Эти зависимости являются обратны­ ми по отношению к зависимостям первой группы и также нелиней­ ными. Эти зависимости представляются аналитически следующими выражениями:

160

где W* — значение объема, при котором производится сопряже­ ние данных зависимостей; к3, /е4 , р, q, S — экспериментально под­ бираемые коэффициенты. К третьей группе зависимостей относит­ ся связь скорости перетока жидкости между двумя сообщающими­ ся объемами с разностью давлений в них. Учитывая, что система ис­ следуется в норме, где отсутствуют резкие и большие перепады венозного и ликворного давлений, скорость перетока ликвора и крови в этих условиях приближенно можно считать пропорцио­ нальной разности давлений. Поэтому указанные зависимости были линейными:

с различными скоростями и направлениями течения крови по по­ верхности системы. Подобными схемами можно представлять ткани мозга, почки и др.

С помощью языка математики, моделей, характеризуемых сис­ темой дифференциальных уравнений, могут быть описаны процес­ сы в капиллярах и ткани (Metzger, 1969).

Концентрация кислорода в ткани и капиллярах (в некоторой произвольной точке) может быть дана уравнением непрерывного баланса массы в элементе объема V и поверхности F, которое имеет вид

где t — время; Q (с) — потребление кислорода через химическую

реакцию в единицу времени и объема; / — поток кислорода через элемент поверхности dF.

Первый интеграл описывает временные изменения кислорода в объеме ѵ. Второй интеграл суммирует количество кислорода, которое проходит через поверхность F. Третий интеграл представ­ ляет потребление кислорода в ѵ.

Дифференциальное уравнение в частных производных (с при­ менением теоремы Гаусса):

_ £ = divtf + Q(c).

Это уравнение описывает процессы и в капиллярах, и в ткани. Причем в капиллярах Q (с) — 0, а для ткани Q (с) — AclKtc

(здесь А и К — константы, характеризующие скорость реакции в

DAc — А -гД— = О

К + с

(парциальное давление вычисляется из с разделением коэффициента растворимости а).

Для получения дифференциального уравнения для с в капил­ лярах можно вернуться к исходному уравнению. Для стационар­

Опуская промежуточные преобразования, представим уравнение в

циент, характеризующий границу дуги ткани, взятой в нормаль­ ном направлении.

Уравнения полностью описывают модель концентрации кисло­ рода в поверхности ткани, показывая влияние мембраны капилля­ ра как диффузионного барьера (Metzyer, 1969).

В работе далее получено численное решение этих уравнений

циальных уравнений в частных производных (см. главу 1-0) (Беллман, Кук, 1967).

Одной из конкретных задач в изучении мозгового кровообра­ щения посвящена работа Мчедешвили, Ормоцадзе, Митагвария (1971).

При построении модели приняты следующие допущения: сосу­ ды головного мозга рассматривались как система с сосредоточен­ ными параметрами; относительная вязкость крови принималась величиной постоянной; сопротивление току крови меняется лишь при активных изменениях просвета сосудов. По мнению авторов,

162

эти допущения не влияли существенно на адекватность модели исследуемому объекту.

Исходя из литературных данных о взаимосвязях между основ­ ными гемодинамическими параметрами и особенностями функцио­ нирования сосудистых механизмов головного мозга, структура модели была принята следующей. Давление в виллизиевом кругу ( Р в к ) определяется уровнем давления в аорте (Ра ) и величинами гемодинамических сопротивлений как на участке магистральных

совместно с гемодинамическим сопротивлением в магистральных артериях мозга определяет величину объемной скорости кровотока Ѵ-і через указанные артерии:

Последнее выражение. является аналогом закона Ома для жид­ костей]

Т7 dP г \

где Р — давление внутри сосуда; g — проводимость, являющаяся

функцией радиуса (7-) сосуда; х — координата протяженности.

С помощью перепада давлений (ДР2 ) между виллизиевым кру­ гом (Рвк) и венозными синусами мозга (Рс )

ДР 2 = Рвк — Pc

игемодинамического сопротивления на этом же участке ( Д п )

определена объемная скорость кровотока в мозгу:

Р— Р

вк с

о, —•

Далее, исходя из закона непрерывности, применительно к цирку­ ляции крови авторы показали, что объемная скорость кровотока через магистральные артерии равна объемной скорости кровотока через остальные сосуды мозга, т. е.

авк вк с

Поскольку сосудистая система мозга находится под непрерыв­ ным контролем нервных и гуморальных управляющих воз-

6* 163

действий, можно полагать, что механизмы, вырабатывающие эти воз­ действия, получают исходную информацию (как и в любой системе управления с обратной связью) о состоянии регулируемой вели­ чины и после переработки этой информации выдают адекватные управляющие воздействия, изменяющие сопротивление в сосудах головного мозга. К таким источникам информации можно отнести прессо- и хеморецепторы, расположенные в области каротидного синуса, в виллизиевом кругу и в венозных синусах головного моз­ га. По мнению авторов, гемодинамическое сопротивление на участ­ ке магистральных артерий имеет вид

рии мозга со стороны нервнорефлекторного и гуморального ме­ ханизмов. Аналогично сказанному

где ип...и2т — управляющие воздействия на пиальные и другие мелкие сосуды головного мозга со стороны нервнорефлекторного и гуморального механизмов.

В соответствии с разработанной авторами методикой экспери­ ментов на препарате изолированной внутренней сонной артерии,

где К — тангенс угла наклона линейной характеристики, опре­ деляемой в функции от уровней фиксированных значений і ? м и Rn. Далее были найдены зависимости:

которые носили нелинейный характер и имели зоны «насыщений», когда дальнейшие изменения RM и Rn не вызывали заметных из­ менений ОТНОШеНИЯ Рвк/Ра-

164