Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
Уравнения баланса |
67 |
никают в результате взаимодействия частиц (молекул, атомов и ионов) и имеют очень короткий радиус дей ствия, практически ограниченный соседними частицами. Следовательно, если мы выделим элемент объема d V континуума, то на него будет действовать только по верхностная сила dF', возникающая вследствие взаимо действия с частицами, находящимися в соседних эле ментах объема. Декартовы координаты вектора этой силы определяются компонентами tu t2, t3 вектора на пряжения tn, т. е.
|
dF'a — tadQn |
(а — 1,2,3). |
(2.56) |
Следовательно, |
dF' = tndQn |
является |
поверхностной |
силой, которая |
действует на |
элемент массы dM = рdV, |
|
заключенный в элементе объема dV, со стороны сосед него элемента массы dM' — рdV'. Эта сила направлена вдоль поверхности dQ„, имеющей внешнюю нормаль п. Поскольку элемент поверхности dQ„ с внешней нор малью (—п) принадлежит соседнему элементу объема dV' (фиг. 4), dF' — t-n dQ„ есть та сила, с которой элемент массы dM = pdV действует на элемент массы dM' — = рdV' вдоль поверхности dün. По закону равенства действия и противодействия эти две силы имеют равную величину, но противоположное направление, что спра ведливо и для вектора напряжения, т. е.
tn = - f-„. |
(2.57) |
Чтобы получить общее уравнение движения в фи зике континуума, необходимо обобщить на случай
3*
68 |
Глава U |
непрерывной среды уравнение движения Ньютона из ме ханики точки. Следовательно, нужно задать результи рующую F* всех сил, действующих на вещество конти нуума в объеме V. Результирующая сила определяется в общем случае поверхностными силами (иногда их на зывают силами напряжения или контактной нагрузкой), а также объемными или внешними силами (иногда их называют посторонними силами). Эти силы действуют на каждую часть континуума (внутреннюю часть), сле довательно, они пропорциональны соответственно массе и объему системы. Такой силой является, например, гра витационная сила, которая для элемента массы dM = pdV пропорциональна соответственно массе dM и объему dV. В общем случае с такой силой внешние силовые поля действуют на элементы массы континуума. Если внеш няя сила, действующая на элемент массы dM, равна dF", то справедливо выражение
dF" = |
F dM — pF dV, |
(2.58) |
где F — внешняя сила |
на единицу массы. |
Пользуясь |
(2.56) и (2.58), результирующую элементарных поверх ностных и объемных сил можно представить как
dF* = pF dV ^itndQn, |
(2.59) |
dQ |
|
где поверхностный интеграл следует брать по всей по верхности dQ, ограничивающей объем dV. Следователь
но, если г» — ускорение элемента массы dM, которое можно приписать действию силы dF, то уравнение дви жения Ньютона механики точки для элемента массы
dM, рассматриваемого как «частица», следует |
записать |
в виде |
|
рг> dV — pF dV + (j]tndQ„. |
(2.60) |
da |
|
Интегральная форма уравнения движения континуума получается интегрированием этого выражения по всему Объему V и граничной поверхности Q континуума. Сде-
Уравнения баланса |
|
69 |
|
довательно, |
|
|
|
J 9 v d V = |
I pFdV + j,tdQ |
(2.61) |
|
V |
V |
и |
|
является интегральной формой уравнения движения кон тинуума.
Теперь определим дифференциальные уравнения, справедливые для любой точки континуума. Рассмотрим элементарный тетраэдр, ограниченный поверхностями
äQn, dQi, dQj, dQh, внешние нормали которых |
совпа |
дают с направлениями я, — і, — /, — к (фиг. |
5). По |
верхностные силы, действующие на грани тетраэдра,
равны dF' — 1„ dü„ и dFâ — t - a dQa (« = i, j, k). Вся кий взятый в произвольной точке континуума элемен тарный тетраэдр, на который действуют эти силы, на ходится в равновесии, если результирующая указанных четырех сил равна нулю, т. е. выполняется локальное условие
tp dQn -ф t—i düi -j- t—j dQ,j -ф t—k dQ/f — 0* |
(2.62) |
70 Глава [I
Однако, согласно закону равенства действия и противо действия, справедливы соотношения
t/ = — t-i, tk = ~ t - k , (2.63)
и поэтому из условия (2.62), используя (2.63), и соотно шения dQa = nadQ,n (а==і, j, k), получаем
tn = пі*і + пі*і + ttA> |
(2.64) |
где п}, nk — декартовы координаты вектора единич
ной нормали п, которые определяются направляющими косинусами вектора п. Соотношение (2.64) означает, что вектор напряжения tn является однородной линейной векторной функцией единичной нормали п, т. е. в любой точке континуума справедливо соотношение
/р(л t) = |
паTaß(г, /) |
|
(а, ß = l , 2, 3), |
(2.65) |
|
где матрице |
состоящей |
из девяти |
скалярных |
вели |
|
чин, соответствует тензор второго ранга |
|
|
|||
т (Г, |
0 ^ [ T aß] = |
Tu |
т21 |
Ты |
|
Tl 2 |
Т22 |
Т32 |
(2.66) |
||
|
|
Тіз |
^23 |
Т’зз |
|
который называется тензором напряжения. Соотноше ние (2.65), которое можно записать и в тензорной форме
t = n ■1, |
(2.67) |
показывает, что если в данном участке континуума из вестны напряжения, определяемые элементами Та$ тен зора Т напряжения, то в том же самом участке можно определить любой вектор напряжения. Три элемента Таа
тензора Т называются нормальными напряжениями, или натяжениями, если они положительны, и нормаль ными давлениями, если они отрицательны. Элементы Taß (а ф ß) являются тангенциальными напряжениями, или напряжениями сдвига.
Дифференциальные уравнения для движения конти нуума можно сразу же получить из (2.61). Подставляя вектор напряжения из (2.67) в (2.61) и используя тео-
Уравнения баланса |
71 |
рему Гаусса о дивергенции, приходим к уравнению
(2.68)
из которого, поскольку объем V произволен, следует уравнение движения
рг> = pjF -f V • Т, |
(2.69) |
принадлежащее Коши. В этом компактном и изящном уравнении символ V • Т обозначает тензорную дивер
генцию, а V — ускорение центра масс, поскольку в него входит субстанциональная производная по времени. Уравнение движения (2.69) справедливо для любого континуума, однако выражения для тензора напряжения в различных моделях континуумов, конечно, неодинако вы. Если известен вид тензора напряжения, то уравне ние движения (2.69) можно использовать для описания различных моделей деформируемых тел (упругих, пла стических и т. д.), гидродинамических моделей (идеаль ные и вязкие жидкости, турбулентные системы) и, кро ме того, различных моделей электромагнитных полей.
§ 5. Уравнения баланса импульса
Уравнения (2.61) и (2.68) выражают закон сохране ния импульса в интегральной форме: изменение импуль са материального объема во времени равно результи рующей сил, действующих на вещество, находящееся в объеме. Поэтому физический смысл дифференциаль ного уравнения (2.69) также совпадает с законом сохра нения импульса. В этом особенно просто убедиться, об ращаясь к другой форме уравнения движения, которая в термодинамике применяется даже чаще, чем (2.69). Уравнение (2.69) более обычно в механике. Уравнение движения можно записать в альтернативной форме, вводя тензор давления, равный тензору напряжения, взятому с противоположным знаком
Р = — Т; |
(2 .7 0 ) |
72 |
Глава II |
тогда (2.69) примет вид
pü + V • Р = pF. |
(2.71) |
Уравнение (2.71) является уравнением баланса импуль са в субстанциональной форме, в чем можно убедиться, сравнивая его с общим уравнением субстанционального баланса (2.15) и учитывая, что ѵ — удельный импульс. Действительно, уравнение (2.71) является уравнением баланса, где субстанциональная плотность потока им пульса идентична тензору давления второго ранга
ѵ1имп = |
Р, |
(2.72) |
а плотность источника |
|
|
°L , = |
P* |
(2-73) |
определяется плотностью внешних сил. Плотность силы pF можно, очевидно, интерпретировать только как член, соответствующий «внешнему» источнику. Действитель но, существование этого источника обусловлено именно внешними полями, действующими на континуум. Таким образом,.несмотря на то, что уравнение движения (2.71) является уравнением баланса, содержащим член, соот ветствующий источнику, оно выражает закон сохранения импульса в дифференциальной форме. Члены, соответ ствующие источникам, возникающим вследствие неод нородностей внутри системы, не входят в уравнение баланса (2.71), т. е. о 'мп = 0.
Субстанциональное уравнение баланса (2.71) с по мощью (2.21) можно преобразовать в локальную форму
-§j- + V • (Р + рѵѵ) = pF, |
(2.74) |
если в (2.21) под величиной а понимать компоненты скорости центра масс, т. е.- а = ѵа (а = 1, 2, 3). Соответ ственно ѵѵ в (2.74) обозначает диадное произведение, а локальная плотность потока импульса
Димп = Р + р ѵѵ |
(2 .7 5 ) |
Уравнения баланса |
73 |
складывается из субстанциональной (проводящей) Р |
и |
конвективной части рѵѵ в соответствии с общим выра жением (2.12).
Рассмотрим теперь следующий вопрос: при каких условиях уравнения баланса импульса (2.71) и (2.74) можно рассматривать как уравнения баланса для кон тинуума, полученного суперпозицией К непрерывных сред. Прежде всего получим уравнение баланса им
пульса, аналогичное (2.71), для |
k-ro компонента среды. |
Это уравнение можно представить в виде |
|
Р * ^ 7 Г + Ѵ А = рА + рА |
(* = 1 . 2 , . . . , /С), (2.76) |
где производная по времени от скорости Vk компонента, согласно (1.44), есть субстанциональная производная по времени, относящаяся к k-ыу компоненту данной среды. В (2.76) Pfc есть тензор давления k-то континуума, Fk— внешняя сила, действующая на единицу массы k-ro ком понента, а Ft можно представить себе как внутреннюю силу. Эта сила возникает из-за наличия других компо нентов и, согласно корпускулярной теории, действует на единицу массы k-ro компонента как результирующая короткодействующих межмолекулярных сил [17, 18]. Во всяком случае, интересующее нас обобщение можно сде лать, лишь предположив, что в уравнение баланса им пульса (2.76), относящееся к индивидуальному компо ненту, включены внутренние силы FI, которым соответ ствуют «внутренние» источники импульса <РМП= РА -
Чтобы определить, при каких условиях уравнение ба ланса (2.71) справедливо и для многокомпонентных си стем, исключим из (2.76) производную dW/dt, восполь зовавшись уравнением (1.45) с А = Ѵъа (а = 1,2, 3). Это приводит к выражению
f ^ L = i k + (wh -V)vk (k = l, 2, . . . , К), (2.77)
с помощью которого (2.76) можно переписать в виде
Р Л + (*»' V) v k + V • p k = P A + PА |
( 2 J 8 ) |