Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

54 Глава It

Преобразуя правую часть этого уравнения с помощью тождества

получаем искомую связь между субстанциональным и локальным изменением а:

(2.21)

Следует подчеркнуть, что в (2.21) а может быть любым скаляром или некоторой удельной полевой величиной. Следовательно, а может быть скаляром, компонентой вектора или тензора второго ранга и т. д. Если в част­ ном случае удельная масса а == 1, то (2.21) сводится к локальному уравнению баланса массы (2.10).

Уравнение (2.21) будет часто использоваться в даль­ нейшем, но один фундаментальный вопрос будет выяс­ нен с его помощью уже теперь. Этот вопрос заклю­ чается в том, эквивалентны ли локальное (2.8) и субстан­ циональное (2.15) уравнения баланса друг другу. Доказать это необходимо, поскольку при выводе (2.15) мы предполагали, что плотность источника оа равна плотности, входящей в локальное уравнение (2.8). Не­ обходимое подтверждение можно получить сразу же, обращаясь к (2.21). Добавляя к уравнению (2.8) члены

Последнее уравнение, согласно (2.21) и (2.12), и есть субстанциональное уравнение баланса. Таким образом, эквивалентность уравнений (2.8) и (2.15) доказана тождеством соответствующих источников.

Эквивалентность локального (2.10) и субстанцио­ нального (2.17) уравнений баланса, выражающих сохра­ нение массы, также следует из предыдущего. Эти урав­ нения часто называют пространственными (эйлеровыми) уравнениями непрерывности. В связи с этим заметим, например, что можно доказать эквивалентность уравне­ ния (2.17) и материального (лагранжева) уравнения

непрерывности (1.25). Рассмотрим минор Dag якобиана (1.3), с помощью которого последний можно предста­ вить следующим образом:

где 6ßY— символ Кронекера1). Пользуясь элементар­ ными правилами теории детерминантов и соотношением (2.23), получаем для субстанциональной производной якобиана по времени

что можно записать также в сжатой векторной форме

С помощью этого изящного соотношения, впервые выве­ денного Эйлером, можно сразу же показать эквивалент­ ность (2.17) и материального уравнения непрерывности. Умножая (2.17) на якобиан / и используя (2.25), при­ ходим к уравнению

если ро — распределение плотности в начальный момент времени. Таким образом, доказана эквивалентность (2.17) и (2.10) и материального уравнения непрерывности.)*

*) Здесь и кое-где в дальнейшем мы пользуемся условием, со­ гласно которому по повторяющемуся индексу автоматически про­ водится суммирование от 1 до 3 в соответствии со стандартным правилом тензорного анализа.

Следовательно, уравнения (2.10) и (2.17) можно на­ звать пространственными уравнениями непрерывности.

Следует также отметить, что некоторые авторы используют это название для обозначения уравнений баланса произвольных поле­ вых величин. Тут мы имеем в виду, кроме уравнений непрерыв­ ности, справедливых для массы, уравнения, относящиеся к заряду,

«уравнение баланса», хотя очень распространенное название «урав­ нение непрерывности» в соответствии с вышесказанным тоже яв­ ляется правильным. Кроме того, этим названием подчеркивается то важное обстоятельство, что аксиомы непрерывности, справедливые

При рассмотрении сохранения произвольной полевой величины А необходимо дополнить наши предыдущие положения. Вообще говоря, уравнения баланса (2.8) и (2.15) представляют собой законы сохранения, и, следо­ вательно, можно утверждать, что величина А сохра­ няется, если уравнение

(2.27) и (2.28).

В тех случаях, когда встает вопрос о сохранении не­ которой интегральной величины А, т. е. величины, отно­

Те составляющие полной плотности источника оа, ко­ торые определяются неоднородностями, локально суще­

ствующими внутри системы, относятся к «внутренней» плотности источника cr^. Такие локальные внутренние

неоднородности могут возникать из-за неоднородного распределения скорости, температуры, химического по­ тенциала и т. д. Следовательно, эти внутренние неодно­ родности можно оценить с помощью градиентов (скоро­ сти, температуры, химического потенциала и т. д.), ко­ торые относятся к «внутренней» плотности источника

<уа1. Эти градиенты, представляющие внутренние неодно­

родности, и плотности потоков, вызванных ими, — вот факторы, определяющие «внутреннюю» плотность источ­ ника о\ Т а к и м образом, «внутренняя» плотность источ­

ника оа‘ произвольных величин А является функцией не­

однородностей внутри системы. Отсюда следует, очевид­ но, что необратимые процессы всегда относятся к «внутренним» плотностям источников. Все сказанное особенно важно для понимания баланса энтропии.

Совсем другое положение возникает при рассмотре­ нии так называемой «внешней» плотности источника а®.

«Внешняя» плотность источника полевой величины А возникает из-за дальнодействующего характера внеш­ них сил, влияющих на систему, в том числе, конечно, и на внутреннюю ее часть. Тем не менее «внешние» плот­ ности источников импульса и энергии внешних полей (гравитационного, электромагнитного и т. д.), действую­ щих на материю системы, всегда существуют. Если принять во внимание этот факт или если заранее вы­ брать модель системы таким образом, чтобы внешние поля входили в систему, то сохранение полевой вели­ чины А, о которой идет речь, можно рассматривать в случае неисчезающих «внешних» плотностей источников

а®. Такое положение возникает, например, при рассмо­

трении баланса импульса, выраженного уравнением дви­ жения континуума. Тем не менее отметим, что анализи­ руемая модель системы в любом случае должна описы­ ваться точными и хорошо определенными условиями, причем это особенно необходимо в термодинамике, по­ скольку здесь мы имеем дело с большим количеством различных моделей систем..