Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

применять этот принцип. Преимущество локальной фор­ мулировки по сравнению с интегральной состоит в том, что последнюю для любой модели системы можно вы­ вести из первой, тогда как обратное несправедливо.

Согласно этому уравнению, стационарное состояние может сохраняться только при условии, что количество энтропии, уходящей из системы через граничную поверх­ ность, полностью восполняется за счет производства эн­ тропии. В соответствии с (4.63) стационарное состояние локально определяется тем, что нормальная компонента плотности потока энтропии имеет неизменное стационар­ ное значение

Принимая во внимание предыдущее и используя условие стационарности (4.91), интегральные формы ва­ риационного принципа (4.69), (4.71) и (4.73) можно представить в виде частных экстремальных принципов

где для универсальной формы вводится особая функция ОМ (?отац, применяемая только в стационарном случае.

Стационарные формы принципа наименьшего рассе­ яния энергии можно привести к более наглядному виду. В случае представления через потоки такое преобразо­ вание было впервые осуществлено Онсагером [27]. Ис­ пользуя локальные выражения (4.9) и (4.10), а затем интегральные выражения (4.64) и (4.65), приходим к сле­ дующему виду уравнения баланса энтропии (4.92), спра­ ведливому для стационарного случая:

Если не учитывать множителя 2, то левая часть уравне­ ний (4.97) совпадает с соответствующим выражением в принципе максимума (4.94), справедливом в стацио­ нарном случае. Фиксируя нормальную компоненту плот­ ности потока энтропии на границах системы согласно

(4.93), мы фиксируем и 5*; таким образом из (4.94а) и (4.946) получаются принципы минимума

Здесь одновременно записаны и условия вариации. Следуя Онсагеру [27], в первом случае можно ска­

зать, что в стационарных условиях (4.91) и (4.93) стацио­ нарное распределение потоков необратимых процессов определяется принципом минимума (4.98), где плот­ ность потока энтропии на граничной поверхности фикси­ рована. Следует отметить, что для того, чтобы зафикси­ ровать (/8) я, (/<})„ и все (Jh)n в гидротермодинамиче­

ских системах, в которых существует поток тепла Jq и поток вещества Ju (k = 1, 2, ..., К) через граничную поверхность, необходимо зафиксировать температуру Т и все химические потенциалы р&. Точно так же принцип минимума (4.99), сформулированный в представлении через силы, определяет стационарное распределение сил при стационарных условиях (4.91) и (4.93)-. Принцип ми­

определяет только стационарное распределение сил, кос­ венно, благодаря линейным кинематическим уравнениям, он дает и стационарное распределение потоков. Следует, может быть, заметить, что вариационный принцип Онсагера называется принципом наименьшего рассеяния энергии, поскольку в стационарном случае он выра­ жается соответствующим минимумом потенциалов рас­ сеяния. Если говорить точнее, то принцип наименьшего рассеяния энергии обязан своим названием принципу (4.98), сформулированному как условие минимума функ­ ции Ф [27].

Обратимся, наконец, к универсальному принципу (4.95). Определим часть локальной функции ОМ (4.33), которая задается суммой локальных потенциалов рас­

Эту функцию можно считать универсальным локальным потенциалом. Рассмотрим теперь универсальный прин­ цип (4.95), справедливый для стационарного состояния,

при условии, что величина 5* фиксирована. Тогда, как можно видеть, (4.95) сводится к экстремальному прин­ ципу

ном принципе минимума (4.101), точно так же как и во всех принципах, записанных в универсальной форме, ва­ риация производится одновременно (но независимо) и по потокам, и по силам. Очевидно также, что универсаль­ ный стационарный принцип объединяет частные форму­

становится идентичным принципу (4.98), а в случае по­ стоянства потоков и вариации по силам — принципу

(4.99).

Теперь мы привели все возможные представления принципа наименьшего рассеяния энергии и для стацио­ нарных систем. В следующей главе будет описан прин­ цип минимального производства энтропии, справедливый для стационарных систем. Однако, как мы увидим, этот принцип не является новым и независимым от принципа наименьшего рассеяния энергии, а представляет собой лишь универсальный принцип (4.101), сформулирован­ ный на «языке» производства энтропии.

найти другую, не совпадающую с Ф функцию, обладаю­ щую тем характерным свойством, что в стационарном состоянии она имеет экстремум. Так как термостатиче­ ское равновесное состояние характеризуется максимумом энтропии и нулевым производством энтропии, разумно предположить, что стационарные состояния открытых относительно потоков систем определяются производ­ ством энтропии, которое соответствует некоторым за­

данным дополнительным условиям. Таким образом, прин­ цип минимального производства энтропии представляет собой общий критерий стационарности и несомненно является наиболее плодотворным принципом неравновес­ ной термодинамики, по крайней мере в настоящее время. Прежде всего рассмотрим этот принцип для не непрерыв­ ной модели системы, состоящей из двух однородных под­ систем.

Пусть система состоит из двух однородных подсистем I и II (равновесных), но в целом является неравновесной (фиг. 6). В таком случае неоднородности имеются только на границе двух подсистем, т. е. термодинамические силы

Х і == ДГ( = Гг — ГІГвнутри отдельных подсистем не зави­ сят от пространственных координат и, следовательно, они существуют только вдоль граничных поверхностей двух подсистем. Предположим также, что подсистемы открыты относительно окружающей их среды. Это означает, что в определенном стационарном состоянии имеется /' пото­ ков между подсистемами и их окружением и, конечно, вдоль граничных поверхностей подсистем, причем эти