Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
Интегральный принцип термодинамики |
231 |
имеет |
вид |
|
|
|
= — V •(ри + Ѵр — pF) — рѲ® • о — |
|
|||
|
- у (л„ - I л)(V • v f |
- |
t| l( \ v f : (\v f] - |
|
|
- |
f |
( V X » - 2 |
<o)2, (6.94) |
где варьируемые параметры опять указаны |
индексами. |
|||
В соответствии с общей формулировкой интеграль |
||||
ного |
принципа (6.51)— (6.54) |
|
плотности лагранжиана |
|
(6.94) отвечают следующие уравнения Эйлера—Ла гранжа:
при Гі = —Цр имеем
д9?та |
|
|
= 0 |
(ß = |
1,2,3), |
(6.95) |
|
дѵЛ |
дха |
д (düß/dxa) |
|||||
|
|
|
|
||||
|
а=1 |
|
|
|
|
|
|
при Г і н= — соß |
|
|
|
|
|
||
<&ѵ, |
|
дЗГ |
: 0 |
(ß = |
1,2,3) . |
(6.96) |
|
д<йа |
дха |
д (d<üß/dxa) |
|||||
|
|
|
|
||||
а=1
Конкретные формы этих уравнений Эйлера — Лагранжа, которые выполняются одновременно, можно определить с помощью простого, но довольно трудоемкого вычисле ния.
Рассмотрим сначала первую группу уравнений Эй лера— Лагранжа. Проводя дифференцирование в (6.95), получаем уравнение
рг> + \ р — pF — г\Дг> — ^ |
j ѴѴ • ѵ — |
|
- г ѵ Ѵ Х ( 2 <й- V X v)— 2(Vv)s • Vn - (V ■t>) V (ть - 4 |
л) + |
|
+ (2© - |
V X V ) X Vr]r = 0, |
(6.97) |
которое представляет собой общее уравнение движения в гидродинамике. В этом легко убедиться. В самом деле, предполагая, что коэффициенты вязкости ц, т]г и не
232 |
Глава VI |
|
|
зависят от пространственных координат, получаем |
урав |
||
нение |
|
|
|
рѵ + Ѵр — pF — г| Дц — |
+ г|„j ѴѴ ■и — |
|
|
|
— трѴ Х ( 2 ю - Ѵ Х Ф = |
0, |
(6.98) |
которое является обобщенным уравнением |
Навье — |
||
Стокса, содержащим член вращательной вязкости. Ко нечно, если предположить, что коэффициенты т), Ци и Цг постоянны в пространстве, то (6.98) получается непо средственно из (6.95) [80]. Тем не менее интегральный принцип и теперь, как и во всех предыдущих случаях, дает возможность установить зависимость коэффициен тов от пространственных координат.
Теперь обратимся ко второй группе уравнений Эй лера— Лагранжа (6.96). Прежде всего заметим, что про изводные угловой скорости <й по координатам не входят в выражение (6.94) для плотности лагранжиана. По этому уравнения Эйлера — Лагранжа принимают про
стой вид |
|
|
(6.99) |
откуда получаем дифференциальное уравнение |
|
рѲсо - 2тѵ(V X V — 2<ö) = 0, |
(6.100) |
которое описывает эволюцию во времени величины ю. Например, в том случае, когда вихревой вектор V X » всюду приблизительно одинаков и постоянен и, кроме того, равен нулю в начальный момент, для изменения во времени (о уравнение (6.100) дает следующее решение:
ю(0 = у V X V (1 — e~tlx), |
(6. 101) |
где время релаксации т определяется соотношением
(6. 102)
Решение (6.101) показывает, что после обращения в нуль экспоненциального члена гидродинамический вихревой вектор становится равным удвоенной угловой скорости
Интегральный принцип термодинамики |
2 3 3 |
внутреннего вращения. При этом обращается в нуль так
же силаХѵ = — (V X V — 2сй) в линейных конститутивных уравнениях (6.86) и соответствующие плотности потока импульсов, т. е. исчезает взаимодействие между вихрями макроскопического поля скоростей и внутренним враща тельным движением частиц [см. сказанное в связи с (2.169)]. Это соответствует случаю симметрического тен зора давления, которому отвечает плотность лагран жиана
&l = — v-(pv + Vp — pF) — Y (ть — - | л) (V • ѵ)2 —
- л [(Vf)5: (Ѵо)*]. (6.103)
Это выражение для плотности лагранжиана и уравнения Эйлера — Лагранжа (6.95) непосредственно приводят к обыкновенному уравнению Навье — Стокса
рѵ + Ѵр — pF — Ti Ad — ( у + ricj VV • v = 0, (6.104)
которое, конечно, вытекает из (6.98), если в любой мо мент времени выполняется соотношение V X i»= 2m.
Приведенные выше уравнения гидродинамического движения доказывают, что с помощью интегрального принципа можно одновременно описывать и чисто меха ническое (инерциальное) движение, и налагающиеся на него эффекты рассеяния. Очевидно, что уравнения турбу лентного течения Рейнольдса также можно вывести из интегрального принципа; то же самое относится к основ ным уравнениям магнитогидродинамики, физики плазмы и т. д.
§ 5. Неизотермические уравнения переноса
До сих пор при выводе уравнений переноса мы всегда использовали косвенный индуктивный путь. Сущность его заключалась в том, что, исходя из принципа наимень шего рассеяния энергии в представлении через силы, определялась плотность лагранжиана и уравнения Эйле р а — Лагранжа для исследуемой проблемы при задан ном способе варьирования и заданных граничных усло виях. Другими словами, в указанных примерах мы
23 4 Глава VI
пришли к интегральному принципу индуктивным путем, т. е. его существование было доказано косвенным обра зом. Теперь мы пойдем обратным путем и выведем диф ференциальные уравнения, описывающие неизотермиче ские процессы переноса (термодиффузию и т. д.), непо средственно из общей формулировки интегрального принципа (6.51) — (6.54) [81]. Этот метод подтверждает, что интегральный принцип можно считать независимым вариационным принципом термодинамики.
Плотность лагранжиана для нашего случая можно сразу записать на основе общего выражения (6.51а). Действительно, при помощи выражения (3.19) для суб станциональной производной по времени от соотношения Гиббса получаем уравнение
(6.105)
которое уже определяет первый «кинетический» член плотности лагранжиана. В нашем случае производство энтропии определяется вторым и третьим членами в
(3.69), т.е.
(6.106)
где для сил использованы выражения (3.71) и (3.72). Для простоты в (6.106) и в дальнейшем мы будем иметь дело с зависимой системой диффузионных потоков /&, и, следовательно, теперь соответствующие уравнения не сводятся к системе, содержащей К — 1 независимых по токов. В данном случае справедливы следующие линей ные конститутивные уравнения:
qk [ j |
(6.107) |
4=і |
|
к |
|
(t = |
1, 2, ... , К) |
(6.108)
Интегральный |
принцип |
термодинамики |
235 |
|
и соотношения взаимности |
|
|
||
Ltq = |
Lql |
(і = \, |
2, .... К), |
(6.109) |
Lik = |
Lki |
(i,k = |
1,2........ К), |
(6.110) |
так как из упомянутой в гл. IV, § 4, теоремы следует, что однородная линейная зависимость между потоками [та кая, например, как (1.43) для потоков диффузии] не влияет на справедливость соотношений взаимности. Если выбрать параметры Г, в общей форме интегрального принципа (6.53) таким образом, что
Г ч = ~ , (/г = 1, 2........ К ) , (6.111)
то силы можно представить в виде
Xq= ѴГЧ, x k = TqFk + Vrk (Ä = l, 2........ /С). (6.112)
Тогда локальный потенциал рассеяния запишется сле дующим образом:
|
к |
|
^ q d = - j Lqq(ѴГ,)2 + |
2 Lqk\ r q • (ГqFk + |
VTfe) + |
к |
k = \ |
|
|
|
|
+ T S ^ |
(г ^ + ѵ г(.) - ( Г А |
+ ѵг,). (6.113) |
i , k — I |
|
|
Этот потенциал рассеяния и выражение (6.105) уже определяют плотность лагранжиана для данной проб лемы. Действительно, принимая во внимание в (6.105) выбор параметров Гг (6.111), можно записать плотность лагранжиана в энтропийном представлении для нашей проблемы:
/к
3? — Р I Г,,« + |
Гqpv + ^ |
|
|
V |
ft=i |
|
|
• Lqq(ѴГ,)2 + 2 |
Lqkv r q ■(ГqFk + vrft) + |
|
|
|
k=i |
|
|
|
к |
|
|
+ -i |
V Llk (ГqFt + |
ѴГ£) ■(r,F k + ѴГД |
(6.114) |
i, k = l
2 3 6 |
Глава VI |
Если известна плотность лагранжиана, то наша зада ча заключается только в том, чтобы выполнить диффе ренцирование в общих уравнениях Эйлера — Лагранжа (6.54) по параметрам Г? и Г*, определяемым выраже ниями (6.111). Указанным способом можно получить уравнение для переноса энергии
ргі + ррѵ - |
2 Lqk\ T q ■Fk - |
2 LikiTqFi + |
ѴГг) • Fk + |
||
|
fc=i |
|
i, k=\ |
|
|
+ v |
2 |
Lqk(TqFk + \ r k) |
= 0 |
(6.115) |
|
|
k=i |
|
|
|
|
и уравнения, описывающие перенос компонентов, |
|
||||
РФ + V |
Ѵ ^ + 2 |
U k(rqFk + ѴГ*) |
= 0 |
(6.116) |
|
|
ft=i |
|
К). |
|
|
|
( / = 1 , |
2, |
|
|
|
Выведенные выше уравнения переноса являются об щими, так как они дают представление о переносе внут ренней энергии и компонентов, происходящем в неизо термических и многокомпонентных континуумах под дей ствием внешней произвольной силы. Если в дальнейшем ограничиться несжимаемой жидкостью (ѵ — 0), к кото рой не приложены внешние силы (Fk = 0), то из (6.115) и (6.116) получаем известные уравнения переноса для термодиффузионных систем:
pü = V ■ |
|
к |
Н |
(6.117) |
|
|
|||
|
k=fc i |
Т |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
к |
Vk |
|
РФ = Ѵ • |
Lqi\ |
+ % L ikV |
( i= 1, 2, ..., K), |
|
|
|
k=i |
|
(6.118) |
|
|
|
|
|
где мы опять использовали выражения |
(6.111). |
|||
Мы хотели бы отметить, что предыдущие уравнения переноса нетрудно обобщить на тот случай, когда в си стеме протекают химические реакции. Для этого необхо димо лишь прибавить к плотности лагранжиана (6.114)